综合评价模型
层次分析法 (AHP)
由两两比较判断矩阵提取主观权重，并用一致性比率 CR 检查打分是否自相矛盾。
这篇能回答什么
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）回答的是「在专家看来，这些准则各应占多少权重」。决策者用 1–9 标度对指标两两比较，构成正互反判断矩阵 A（a_{ji}=1/a_{ij}）。算法求最大特征根 \lambda_{max} 与对应特征向量，归一化后得到权重 w，再用一致性比率 CR 判断矩阵是否自相矛盾。CR < 0.1 视为通过。
适合：购车、选址、项目立项等需要把「安全性比动力重要得多」翻译成精确权重的场合。得到权重后，可与TOPSIS 或线性加权结合做对象排序。客观赋权（数据自己说话）应改用熵权法 或CRITIC。
什么时候不该用
AHP 的正式输入是专家判断矩阵，不是一列列原始指标。StatsX 在行数≠列数时，会用各指标的对比强度自动推断一个 1–9 矩阵，便于演示；论文与项目决策应改传 N×N 专家打分。推断权重不能解释成「专家认为总楼层最重要」。指标超过约 15 个时两两比较负担过大，应分层或改用客观赋权。
如何选择方法
先分清权重来自专家判断还是样本离散程度。AHP 是主观赋权并带一致性检验；熵权 / CRITIC 是客观赋权；TOPSIS 在权重之后排序；模糊综合则走向评语隶属度。
层次分析法：N×N 判断矩阵（或演示用的多行指标列），输出权重、\lambda_{max}、CI、RI、CR。
熵权法 / CRITIC：由数据变异或冲突性得到客观权重，无需专家打分。
TOPSIS：用权重（StatsX 内置熵权）对对象与理想解的距离排序。
模糊综合评价：评语集上的隶属度合成，适合「优/良/中/差」边界模糊的场景。
输入、输出与限制
输入
勾选定量列。若行数等于列数且阶数不超过 15，按判断矩阵直接求解；若行数不等于列数，则把各列当作指标样本，用极差标准化后的标准差对比强度映射到 1–9 标度，自动生成正互反矩阵。
判断矩阵列：最少 2 个，最多 20 个定量变量。
方阵阶数建议 2–15；更大的方阵会被拒绝，应只选指标列而不是把「样本行」当成矩阵阶。
输出
结果表列：评价指标、主观权重系数 (W)。表注给出矩阵阶数 N、最大特征根 \lambda_{max}、CI、RI 与 CR，并写明是否通过一致性检验。同时输出权重饼图与文字洞察。若矩阵由样本推断，表注会明确「非专家主观打分」。
产品限制
一致性阈值固定为 CR < 0.1；未通过时仍输出权重，但洞察会标明仅供参考。
随机一致性指标 RI 使用 1–15 阶常用表（4 阶 RI = 0.89）。
推断模式用列间对比强度，不是问卷里的两两打分，不能当作专家 AHP 结果去发表。
这些规则来自 StatsX 实现，与 Yaahp / Expert Choice 在残缺矩阵、群组 AHP 上的处理不同。
案例
研究问题。 综合评价教学表有面积、楼层、总楼层、单价四个定量指标。演示如何从多行样本推断 4 阶判断矩阵并完成一致性检验；正式课题应改为录入专家的 4×4 打分。
教学示例为 600 行 × 4 列指标。推断后 λ_max = 4.0606，CI = 0.0202，RI = 0.8900，CR = 0.0227 < 0.1，通过一致性检验。权重最高为 总楼层 = 33.97%。模型检验指标: 矩阵阶数 N = 4, 最大特征根 λ_max = 4.0606, CI = 0.0202, RI = 0.8900。核心检验结论: CR = 0.0227 < 0.1 (通过一致性检验)。 判断矩阵由 600 条样本的 4 个指标自动推断生成（非专家主观打分）。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 上传表格
打开工作台，将 Excel / CSV / JSON 拖入上传区。演示用综合评价表，工作表为「Sheet1」；正式分析请上传 N×N 判断矩阵（对角为 1，互反）。单文件不超过 20 MB。
步骤 2 · 查看画像与质量
判断矩阵应为正数；专家打分须满足 a_ij × a_ji = 1。演示用指标列须为定量。
步骤 3 · 选择「层次分析法」
在算法目录搜索「AHP」或「层次分析」并点选。适合/可用标记仅供参考。
步骤 4 · 指定矩阵列并运行
勾选总楼层、楼层、面积(平米)、单价(元/平米) 四列（或你的 N 阶方阵全部列）。点击运行分析。
步骤 5 · 阅读结果
先看 CR 是否 < 0.1，再报告权重。若表注写明矩阵由样本推断，正文必须声明「非专家打分」，不能把权重写成专家意见。
如何阅读输出
下表由同一份教学示例在 StatsX 中运行 AHP 得到。四权之和为 100%。总楼层 权重最高（33.97%），单价最低（14.04%）。模型检验指标: 矩阵阶数 N = 4, 最大特征根 λ_max = 4.0606, CI = 0.0202, RI = 0.8900。核心检验结论: CR = 0.0227 < 0.1 (通过一致性检验)。 判断矩阵由 600 条样本的 4 个指标自动推断生成（非专家主观打分）。
| 评价指标 | 主观权重系数 (W) |
|---|---|
| 总楼层 | 33.97% |
| 楼层 | 28.08% |
| 面积(平米) | 23.9% |
| 单价(元/平米) | 14.04% |
模型检验指标: 矩阵阶数 N = 4, 最大特征根 λ_max = 4.0606, CI = 0.0202, RI = 0.8900。核心检验结论: CR = 0.0227 < 0.1 (通过一致性检验)。 判断矩阵由 600 条样本的 4 个指标自动推断生成（非专家主观打分）。
【层次分析法AHP】输入为 600 行×4 列指标样本，已根据各指标数据对比强度自动构造 4 阶两两判断矩阵；正式应用请改用专家打分的 N×N 判断矩阵。
解读顺序建议：矩阵来源（专家 / 推断）→ CR → 最大权重指标 → 权重是否符合理论预期。本案例 CR=0.0227，逻辑一致，但权重来自 600 条样本的对比强度：总楼层变异相对更大，因而权重更高。这与「专家认为总楼层最重要」不是同一句话。写论文时把推断 AHP 定位为操作演示，或改用真正的判断矩阵。
理论与公式
设 n 阶正互反矩阵 A 满足 a_{ij}>0、a_{ji}=1/a_{ij}、a_{ii}=1。求解特征方程 A w = \lambda_{max} w，将特征向量归一化使 \sum w_j=1。一致性指标与一致性比率为：
RI 随 n 增大：3 阶 0.52，4 阶 0.89，5 阶 1.12，……，15 阶 1.59。CR < 0.1 认为判断大体一致。推断模式下，先对各指标极差标准化，用列标准差之比映射到 Saaty 1–9 整数标度再填上三角，下三角取倒数。完全一致时 \lambda_{max}=n，CI=0。
注意事项
演示用的「由样本推断矩阵」不能替代专家 AHP，方法部分必须写明输入类型。
CR ≥ 0.1 时应让专家修改判断，而不是把未通过的权重直接加权打分。
1–9 标度是序数比较，不是连续效用；不要把 5 解释成「重要 5 倍」以外的物理量。
指标过多时两两比较次数为 n(n-1)/2，疲劳会导致一致性崩溃。
权重之和为 1，换一套准则或换一批专家，排序可能完全不同。
AHP 权重不是因果效应，也不能当作回归系数。
常见问题
参考文献
Saaty, T. L. The Analytic Hierarchy Process[M]. New York: McGraw-Hill, 1980.
许树柏. 层次分析法原理[M]. 天津: 天津大学出版社, 1988.
王莲芬, 许树柏. 层次分析法引论[M]. 北京: 中国人民大学出版社, 1990.