Cochran's Q 检验

先看是否同一对象，再看结局尺度。成对、二分类、K=2 → McNemar；成对、二分类、K≥3 → Cochran Q；成对、有序/定量、K≥3 → Friedman；不成对、定类构成 → 卡方或 Fisher。Q 显著只说明「通过率不全相等」，定位哪两列不同要再做校正后的两两 McNemar。

• Cochran’s Q：K≥3 个配对 0/1 列，输出 Q、自由度、p 与各列通过率。

• McNemar（配对卡方）：恰好两列配对二分类。

• Friedman：K≥3 个配对有序或定量，区组内编秩。

• Pearson 卡方：独立样本的交叉表，不是重复测量。

输入

至少三列配对二分类。本案例在运行前把数学学习兴趣、课堂专注情况、教学吸引力按 ≥3 编码为 1，否则为 0。学生性别、学校办学性质虽然也是二元，但它们不是「同一特质的三次测量」，不能拿来充当三个条件。

• 配对二分类列：最少 3 个，最多按界面上限；本案例三列达标指示。

• 区组：一行一名学生；任一列缺失则该行默认不进完整区组。

输出

结果表用类别 A/B/C 描述区组内通过条数：0–1 项、2 项、3 项，并给出完整区组 N。热力图对照各条件 × 响应水平的格子。推断统计量是 Q（近似 χ²_{K−1}）。通过条数构成不能代替 Q。

产品限制

• 不足三列配对 0/1 不能按 Q 解释。

• 完整区组删除后 N 以合计行为准，本例为 301，小于问卷 500。

• 切分点（本例 ≥3）必须预先规定；改切分点等于改结局。

• 热力图格子是描述，完整 Q 与 p 以表为准。

研究问题。 三道态度题都按中点切成「达标 / 未达标」后，同一批学生的三项达标率是否不同？若只关心两道题，应做 McNemar；若不去二分、直接比较 1–5 分的位置，应做 Friedman。

教学示例来自学生问卷，工作表「有效样本数据」。三列同时能二分的完整区组 301。通过很少（0–1 项）51 人（16.94%），通过两项 77 人（25.58%），三项都达标 173 人（57.48%）。超过一半人三项全过，并不自动意味着三题通过率相同——有人可能总是过兴趣、不过吸引力。下载后按同样三列、同样切分点复现。

下载教学示例表（学生问卷）

1. 步骤 1 · 上传表格

   打开工作台，将 Excel / CSV / JSON 拖入上传区。本案例使用学生问卷 xlsx，确认工作表为「有效样本数据」。单文件不超过 20 MB。

2. 步骤 2 · 查看画像与质量

   确认数学学习兴趣、课堂专注情况、教学吸引力为 1–5 分。Q 需要 0/1：先按 ≥3 生成三列达标指示，或在角色里按同样规则二分。不要勾选就读年级。

3. 步骤 3 · 选择「Cochran's Q 检验」

   在算法目录搜索 Cochran 或「Q 检验」。若你其实还没二分、想比较原始分数，应改选 Friedman，而不是把 Q 当「非参数重复测量」的万金油。

4. 步骤 4 · 指定三列并运行

   分析变量勾选三列达标指示（由数学学习兴趣、课堂专注情况、教学吸引力按 ≥3 得到）。需要至少三列。点击运行分析。

5. 步骤 5 · 阅读结果

   先核对完整区组 N，再看通过条数构成，然后读 Q 与 p。显著后再做两两 McNemar 并校正；不显著时不要挑选通过率最高的那一题写成「最好」。

下表描述 301 个完整区组的通过条数。类别 A 51（16.94%）只过 0–1 项，类别 B 77（25.58%）过 2 项，类别 C 173（57.48%）三项全过。这是行和 Rᵢ 的分布。Q 用的是各列成功数 Cⱼ 与每个区组的 Rᵢ，不是把 A/B/C 再做一次独立样本卡方。

【Cochran Q·三题达标】完整区组 N=301。通过 0–1 项 51 人（16.94%），通过 2 项 77 人（25.58%），三项都达标 173 人（57.48%）。这是区组内通过条数，不是三个条件各自的阳性率；条件间通过率是否不同由 Q（df=2）决定。

解读顺序：完整区组 N → 各列通过率（由列合计 Cⱼ/n）→ Q、df=K−1、p → 若显著，校正后的两两 McNemar。本例 K=3，df=2。C 档占 57.48% 只说明很多人三项都过，既不能推出「三题一样难」，也不能推出「吸引力最好」。Rᵢ 全是 0 或全是 3 的区组对 Q 没有信息——他们在所有条件下结果相同。

设 n 个区组、k 个条件，X_{ij}∈{0,1}。记 Cⱼ=∑ᵢ X_{ij} 为条件 j 的通过人数，Rᵢ=∑ⱼ X_{ij} 为区组 i 的通过条数。原假设为各条件通过率相同。Cochran 统计量为

在 H₀ 且 n 不太小时，Q 近似自由度为 k−1 的卡方。k=2 时，上式化成 McNemar 的 (b−c)²/(b+c)（或不校正形式），因此两条件应直接报告 McNemar，而不是「K=2 的 Q」。Friedman 则在区组内对连续或有序观测编秩，统计量是秩和的卡方，不是 0/1 的 Cⱼ。

事后比较：对每对条件做 McNemar，并用 Bonferroni 或 Holm 控制族错误率。不要在 Q 不显著时回头挑选「通过率最高的一列」。本教学示例的切分点 ≥3 进入结局定义，换 4 分切会改变每一列的 Cⱼ 和 Q。

• Q 比较的是边缘通过率，不是潜变量「态度」是否相同。

• 把独立样本的三列通过率做成宽表再跑 Q，会把班级差异当成重复测量。

• Rᵢ=0 与 Rᵢ=k 的人对条件对比无贡献，有效信息来自「有的过、有的不过」的区组。

• 二分损失了 4 分与 5 分的距离；若这个距离重要，回到 Friedman。

• 多次两两 McNemar 必须校正；未校正的最小 p 不能当主结论。

两列二分类改 McNemar；三列有序分数改 Friedman；独立样本交叉表改卡方；两列有序差值改配对 Wilcoxon。

• Cochran, W. G. The comparison of percentages in matched samples. Biometrika, 1950, 37(3-4): 256–266.

• McNemar, Q. Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages. Psychometrika, 1947, 12(2): 153–157.

• Agresti, A. Categorical Data Analysis. Wiley.

• 吴喜之. 非参数统计[M]. 中国统计出版社.