差异性分析-非参数检验
多配对样本Friedman检验
在每个区组内部对三个及以上配对条件编秩，检验各条件的位置是否有系统差别。
这篇能回答什么
Friedman 检验问的是：同一批对象在 K≥3 个配对条件上，相对名次会不会系统地偏向某几个条件。它不拿跨人的绝对分数比高低，只在每一个人（区组）内部把各条件排成 1…K，再比较各条件的秩和。量表只有有序等级、分数明显偏态、或你不打算假设球对称时，它是重复测量均值模型的标准替代。
教学上最常见的宽表是：一行一个学生，三列分别是语文成绩、数学成绩、英语成绩——把三门课当成同一人身上的三个条件。也可以是第 1 / 2 / 3 周疼痛、同一评委给三套方案的打分。显著之后，再用 Nemenyi 或校正过的 Wilcoxon 符号秩看是哪两列在拉开。
什么时候不该用
只有两列相关测量时，直接用Wilcoxon 符号秩检验或配对样本 t 检验。不同学生进不同组、彼此独立，应改用Kruskal-Wallis 检验。分数近似正态且你关心时间×分组交互时，重复测量方差分析通常更有功效。多次 0/1 结局用Cochran’s Q。
如何选择方法
先确认「同一行是不是同一个人」。是，且只有前后两列 → 配对 t 或 Wilcoxon；是，且至少三列、分布偏或只有等级 → Friedman；是，且近似正态、还要球形性校正或交互 → 重复测量 ANOVA。行与行之间没有配对关系 → Kruskal-Wallis 或单因素 ANOVA。阴阳性重复测量 → Cochran’s Q。
Friedman检验：3–10 个配对定量或有序列；区组内编秩，比较秩和。
Wilcoxon符号秩 / 配对 t：恰好两列相关测量。
Kruskal-Wallis：K 个独立组的位置检验，不能拿来处理重复测量。
重复测量方差分析：配对正态数据的均值模型，可含组间因素。
输入、输出与限制
输入
宽表：每一行是一个区组（学生、批次），每一列是一个条件或时间点的定量 / 有序评分。至少三列。任一列缺失的行默认整行退出该次 Friedman，有效 N 以合计行为准。学号、姓名不能当作测量列。
配对测量：最少 3 个，最多 10 个定量或有序变量。
区组标识：由行本身承担，不必另选 ID 列。
输出
教学结果表按条件给出最高秩出现次数、占比与有效样本 N。完整运行还会给出 Friedman 统计量、自由度、p 值、各条件平均秩与 Kendall W；显著后可接事后两两比较。图展示平均秩或最高秩构成。
产品限制
不足三列配对测量不能启动。
区组内同分使用平均秩；结很多时卡方近似需要结校正。
有效 N 是删掉不完整区组之后的人数，往往小于原始行数。
图上的构成只辅助看方向，检验统计量以表为准。
案例
研究问题。 定量成绩表里每个学生同时有语文、数学、英语三列分数。研究者把三门课看成同一人身上的三个条件，想知道区组内的相对名次是否系统偏向某一科，而不是比较「全班语文均值是否高于数学」。
教学示例来自定量成绩表，工作表为「Sheet1」。完整区组 371。结果表把三个配对条件记为类别 A / B / C：最高秩次数分别为 51（13.75%）、75（20.22%）、245（66.04%）。条件 C 在约三分之二的区组里排在最前。下载后勾选语文成绩、数学成绩、英语成绩即可按同样角色复现。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 上传表格
打开工作台，将 Excel / CSV / JSON 拖入上传区。本案例使用定量成绩 xlsx，确认工作表为「Sheet1」。单文件不超过 20 MB。
步骤 2 · 查看画像与质量
确认语文成绩、数学成绩、英语成绩为定量，且来自同一行学生。学号、姓名、班级不要拖进配对列。
步骤 3 · 选择「多配对样本Friedman检验」
在算法目录搜索「Friedman」或「多配对」，点选多配对样本Friedman检验。
步骤 4 · 指定配对列并运行
配对测量勾选语文成绩、数学成绩、英语成绩（至少三列，最多十列）。点击运行分析。
步骤 5 · 阅读结果
先读合计有效 N，再看各类最高秩次数与占比，最后对照平均秩或 Kendall W。不要只根据「谁当冠军最多」下结论。
如何阅读输出
下表是同一份教学示例的 Friedman 输出。合计有效样本 N=371。类别 A 最高秩 51 次（13.75%），类别 B 75 次（20.22%），类别 C 245 次（66.04%）。C 的「冠军次数」大约是 A 的五倍、B 的三倍，方向很清楚：多数区组把条件 C 排在最前。
| 项目 | 类别 | 统计量 | 取值 |
|---|---|---|---|
| 多配对样本Friedman检验 | 类别 A | 频数 | 51 |
| 多配对样本Friedman检验 | 类别 B | 频数 | 75 |
| 多配对样本Friedman检验 | 类别 C | 频数 | 245 |
| 多配对样本Friedman检验 | 合计 | 有效样本 N | 371 |
| 多配对样本Friedman检验 | 类别 A | 占比(%) | 13.75 |
| 多配对样本Friedman检验 | 类别 B | 占比(%) | 20.22 |
| 多配对样本Friedman检验 | 类别 C | 占比(%) | 66.04 |
左右滑动可查看完整表格
教学示例表在 StatsX 工作台中的计算结果口径。
教学示例完整区组 371。条件 C 以 66.04% 占据最高秩，A、B 分别只占 13.75% 与 20.22%。这是描述性构成，不是 χ²_F 本身：某人三门几乎打平，冠军仍会计入 C。写结果时应同时给出 N、各条件平均秩（或本表次数）以及检验 p 值；本表未列出 χ²_F 时，不要把 66% 冠军率写成「p<0.05」。
建议阅读顺序：完整区组 N → 三类最高秩次数与占比 → 平均秩或 Kendall W → 若整体显著，再读校正后的两两比较。W 接近 0 表示学生们把三门课排出的顺序很不一致；接近 1 表示几乎所有人都排出同一套名次。本例 C 的次数占绝对多数，但 A 与 B 谁更靠后，必须看事后比较，不能从 51 对 75 直接下结论。
理论与公式
设 n 个区组、K 个处理。在区组 i 内对 K 个观测编秩（方向须与「越大越好」一致），r_{ij} 为处理 j 在该区组的秩，结取平均秩。处理 j 的秩和 R_j=∑_i r_{ij}。原假设是区组内各处理的秩可交换。Friedman 统计量为
n 不太小时，χ²_F 近似自由度为 K−1 的卡方。Kendall 和谐系数把同一统计量压到 0–1：
结较多时应使用结校正。事后比较常用 Nemenyi 临界差，或对每对列做 Wilcoxon 符号秩并控制族错误率。本教学表示例 K=3、n=371，最高秩 51 / 75 / 245 只描述「谁常排第一」，不替代上式。
注意事项
Friedman 比较的是区组内相对位置。把不同学生的语文、数学、英语当成三个独立样本，会严重低估噪声。
缺了一门课的学生会整行退出，本例有效 N 是 371，写论文时不要沿用全表行数。
最高秩次数忽略了第二、第三名的间隔，不能代替 χ²_F。
显著只说明「三列不全可交换」。C 占 66.04% 仍不能直接写成「C 优于 A 且优于 B」。
疼痛、耗时这类「越小越好」的指标，编秩前要统一方向，否则平均秩的文字会反。
K=2 时不要走本过程，改用配对 Wilcoxon 或配对 t。
常见问题
参考文献
Friedman, M. The use of ranks to avoid the assumption of normality. Journal of the American Statistical Association, 1937, 32(200): 675–701.
Kendall, M. G., Babington Smith, B. The problem of m rankings. Annals of Mathematical Statistics, 1939, 10(3): 275–287.
Hollander, M., Wolfe, D. A., Chicken, E. Nonparametric Statistical Methods. Wiley.
吴喜之. 非参数统计[M]. 中国统计出版社.