模糊综合评价 (FCE)

看终点是「一句话评语」还是「离理想有多近」。需要最大隶属评语与五档百分比，用 FCE；需要 D+、D−、C 排名，用 TOPSIS。两者都可以在底层用熵权，但合成对象完全不同。

• 模糊综合评价：2–50 个定量指标，0–1 个对象标签；输出五档隶属度、最大隶属评语、综合分（表默认前 10）。

• TOPSIS：输出到正负理想解的欧氏距离与 C，没有评语列。

• 熵权法：只停在 W，没有 B 向量。

• 主成分综合评价：正交得分可正可负，不是隶属度。

输入

评价指标为定量（李克特 1–5 也可）。评价对象可选，定类或文本；不填则按行生成「对象 1、对象 2、…」。没有分组角色。

• 评价指标：最少 2 个，最多 50 个定量变量。

• 评价对象：最少 0 个，最多 1 个（定类或文本）。

输出

结果表列：评价对象、隶属度 (优秀/良好/中等/及格/较差)、最大隶属评语、综合得分。表与堆叠柱图默认截取综合分最高的前 10 / 前 20。表注写明底层 W 来自熵权、归类遵循最大隶属度。

产品限制

• 有效行至少 2；按指标列删除缺失。

• 五档中心与分值固定，界面没有「自定义评语」框。

• 模糊合成是加权和 B=Σ_j w_j R_{·j}，不是 min-max 或有界积算子。

• 熵权在 FCE 内部用「零比重改 1e-10」实现，与独立熵权页的 +0.0001 平移不必逐格相同。

• 默认效益型极差标准化；低分越好的题须先反向。

研究问题。 学生问卷用四道 1–5 分题描述学习体验。希望把每位学生映射到「优秀—较差」五档语言，并给出可排序的综合分，而不是只报四题均分。

教学示例工作表为「有效样本数据」，有效样本 500。未指定对象列，行名为对象 1…对象 500。本页只列出综合分最高的前 10 名；第一名为 对象 231，综合分 100，优秀隶属度 99.99%。下载后勾选数学学习兴趣、课堂专注情况、教学吸引力、家庭学习支持即可复现。

下载教学示例表（学生问卷）

1. 步骤 1 · 上传学生问卷

   拖入问卷 xlsx，工作表必须是「有效样本数据」。

2. 步骤 2 · 确认四道评分题

   数学学习兴趣、课堂专注情况、教学吸引力、家庭学习支持应为 1–5 定量。学号、性别不要放进评价指标。

3. 步骤 3 · 搜索模糊综合

   目录搜「模糊」或 FCE。不要选成频数或信度——那些不输出评语隶属度。

4. 步骤 4 · 指定指标与可选姓名

   评价指标勾选上述四列（2–50 个）。若有匿名编号，放到评价对象；本案例留空，标签为对象 i。

5. 步骤 5 · 先看评语再看分

   同一对象可能优秀 73%、良好 27%，最大隶属仍是优秀，综合分却只有 94.65。表若只有 10 行，其余名次以导出为准。图最多堆叠前 20 人。

下表由同一份教学示例在 StatsX 中运行 FCE 得到。对象 231、对象 297、对象 345 的优秀隶属度均为 99.99%、综合分 100，并列顶栏（表内仍按行号列出）。从对象 327 起出现 84.56% / 15.43% 的优秀—良好分裂，综合分 96.91。注：底层权重由数据熵权法客观测算提取。依据最大隶属度原则，对象归属于隶属度百分比最高的那一级别。

【模糊综合评价】样本数=500，等级=优秀、良好、中等、及格、较差。 【最优对象】对象 231 综合分=100.00，最大隶属度=99.99%→优秀级。

读表顺序：对象标签含义（这里只是行号）→ 最大隶属评语 → 是否「一档独大」还是「优秀/良好分庭」→ 综合分是否被截断在前 10。对象 49、105、243 等同为 73.24% / 26.75%，说明若干学生四题标准化后的位置几乎重合。五档百分比是隶属度，不是抽样概率，不能写成「有 99.99% 的把握评为优秀」。换四道题或改用 TOPSIS，同一行的名次会变。

底层 W 由极差标准化后的列熵给出（零比重替换为 1e-10）。对标准化值 z_{ij}∈[0,1] 与中心 c_g∈{1,0.75,0.5,0.25,0}，隶属度取反距离再按档归一：

最大隶属度原则取 argmax_g B_{ig} 作为评语。z 恰等于某中心时，距离用 1e-5 代替 0，避免除零，故「满分」对象的优秀隶属度是 99.99% 而不是理论上的 100%。这与 TOPSIS 的向量归一化 + 欧氏距离不是同一套几何。

• 评语中心是产品约定，不是国标五级制；方法部分必须写明 1.00–0.00 五档。

• 最大隶属与综合分可能「打架」：两档接近时评语仍取较大者，分会反映分裂。

• 表只印前 10、图只印前 20，论文需声明截断。

• 「对象 231」在本案例里是行号，不是学号，不要写成真实姓名。

• 低分越好的题未反向，会把差评映射到「优秀」中心附近。

• B 不是后验概率，不能做置信区间或显著性星号。

若终点改为与理想方案的距离，改用 TOPSIS；若只要 W，回到熵权；若评语权重必须来自专家，先做 AHP 再在表外合成（本页不接收手工 w）。

• Zadeh, L. A. Fuzzy sets[J]. Information and Control, 1965, 8(3): 338–353.

• 汪培庄. 模糊集合论及其应用[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1983.

• 胡永宏, 贺思辉. 综合评价方法[M]. 北京: 科学出版社, 2000.