分层回归 (Hierarchical Regression)

若研究问题写成「控制 A 之后，B 是否仍解释 Y」，选分层回归。若问题是嵌套抽样的随机截距/斜率，选 HLM/混合效应。若问题是间接路径，选中介。

• 分层回归：≥2 层自变量块，1 个定量 Y；输出各层 R²、ΔR²、F 变化与最终层系数。

• 线性回归：所有 X 一次进入，报告一套系数与一个 R²。

• 中介效应：分解间接效应，不是分块进入。

• 多层线性模型：数据有聚类单元（班级、医院），误差非独立。

输入

因变量 1 个定量列。自变量按层级分块：至少 2 层，至多 5 层；空层会被丢掉，丢掉后不足 2 层则无法运行。同一变量不能跨层重复，也不能与 Y 重复。

• 自变量层级：最少 2 层，最多 5 层；每层至少一个定量或定类变量。

• 因变量：最少 1 个，最多 1 个（定量）。

输出

第一张表按 Model 给出该层新引入的变量、R²、调整 R²、ΔR²、F 变化与 p 值。第二张表给出最后一层完整模型的系数、标准误、t 与 p。同时输出各层解释力变化图与文字洞察。

产品限制

• 成表删除后有效样本过少（实现上少于约 15 行）会拒绝。

• 「引入变量」列写的是该层新加入的变量，不是该层模型里已经包含的全部 X。

• 定类自变量会虚拟编码；编号列会被拒绝。

• 分层回归与 HLM 名称相近，输入里没有班级/学校之类的聚类 ID 角色。

研究问题。 在已经考虑数学学习兴趣与课堂专注之后，教学吸引力与家庭学习支持能否额外解释学科难度感知？

教学示例来自学生问卷表，工作表为「有效样本数据」，洞察中的分析建立在问卷有效样本上（N = 500）。因变量为学科难度感知；第 1 层放入数学学习兴趣、课堂专注情况；第 2 层再放入教学吸引力、家庭学习支持。下载后可在工作台按同样分块复现 ΔR²。

下载教学示例表（学生问卷）

1. 步骤 1 · 上传表格

   打开工作台，将 Excel / CSV / JSON 拖入上传区。本案例使用学生问卷 xlsx，确认工作表为「有效样本数据」。单文件不超过 20 MB。

2. 步骤 2 · 查看画像与质量

   确认因变量为定量评分，各层自变量类型匹配。不要把同一列同时放进两层。

3. 步骤 3 · 选择「分层回归」

   在算法目录搜索「分层回归」。不要误选多层线性模型（HLM）。

4. 步骤 4 · 按层指定变量并运行

   因变量勾选学科难度感知。第 1 层：数学学习兴趣、课堂专注情况；第 2 层：教学吸引力、家庭学习支持。至少两层后点击运行分析。

5. 步骤 5 · 阅读结果

   先看各层 ΔR² 与 F 变化是否显著，再读最终模型系数。家庭支持在最终模型中可能不显著，但第 2 层整体仍可能因另一变量而显著——分层看的是块，不是单个系数。

下表由同一份教学示例在 StatsX 中运行分层回归得到。Model 1 引入数学学习兴趣、课堂专注情况，R² = 0.203，调整 R² = 0.1997，ΔR² = 0.203，F 变化 = 63.2761，p < 0.001。Model 2 再引入教学吸引力、家庭学习支持，R² = 0.2413，调整 R² = 0.2352，ΔR² = 0.0384，F 变化 = 12.5129，p < 0.001。两层增量均显著；最终模型解释约 24.13% 的变异，第一层的 ΔR² 更大。

【分层回归】因变量=学科难度感知，嵌套模型数=2。 【模型1】新增=数学学习兴趣、课堂专注情况，ΔR²=0.203，统计显著(p < 0.001, α=0.05)，显著提升解释力。 【模型2】新增=教学吸引力、家庭学习支持，ΔR²=0.038，统计显著(p < 0.001, α=0.05)，显著提升解释力。 【综合】最终R²=24.13%，ΔR²最大层边际贡献最高。

最终模型（Model 2）中：截距 const = 0.5891（p = 0.001）；数学学习兴趣 0.1719、课堂专注 0.1816、教学吸引力 0.1723，均 p < 0.001；家庭学习支持 0.0839（p = 0.056），在 α=0.05 下未达显著。第 2 层整体仍显著，是因为该层还包含显著的教学吸引力——块检验显著 ≠ 块内每一个系数显著。写论文时应同时报告 ΔR² 与最终层各系数。

记第 k 层累积模型的决定系数为 R²_k，残差平方和为 SSR_k、残差自由度为 df_k。第一层的 F 变化即该层整体 F；其后各层：

其中 Δdf 为新增自变量个数（含定类展开后的虚拟变量个数）。原假设是新一层的全部新增系数均为 0。各层均为含截距的 OLS；定类列先虚拟编码再进入设计矩阵。

• 层级顺序必须来自理论或时间先后，不能根据哪一层 ΔR² 更大再回头改顺序。

• 最终模型里不显著的变量仍可能属于显著的变量块，报告时分开写块检验与系数检验。

• 跨层重复同一变量会被拒绝；控制变量应只出现在先进入的层。

• 这是单层 OLS，不能处理学生嵌套班级的组内相关；那种数据用 HLM。

• ΔR² = 0.0384 统计显著，但增量不大，讨论实践意义时要对照最终 R² = 0.2413。

不需要分块时用普通线性回归；关心路径时用中介；共线严重时对照岭回归。

• 何晓群, 刘文卿. 应用回归分析[M]. 中国人民大学出版社.

• Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. Applied Multiple Regression/Correlation Analysis for the Behavioral Sciences. Routledge.

• Pedhazur, E. J. Multiple Regression in Behavioral Research. Wadsworth.