测量系统分析
线性与偏倚
把量具读数对准已知基准件，看平均偏倚有没有、偏倚会不会随着参考值变大而爬坡。
这篇能回答什么
线性与偏倚研究问校准问题，不问过程能力。基准件的参考值 X 已知（量块、标准溶液、教务处锁定的锚分），量具给出重复读数 Y。每个 X 上的平均偏倚是 Ȳ−X。把偏倚对 X 做直线：截距说「整体抬了还是压了」，斜率说「大尺寸是否越测越飞」。斜率显著，量具在量程上不均匀；斜率不显著仍可能整体偏——那是截距或某一点的偏倚检验。Cpk 用的是过程相对规格的余量，尺子本身歪着也能算出漂亮的 Cpk。
练习把数学成绩当量具读数，把若干锚分或年级段当成覆盖量程的基准件（正式研究应使用计量溯源的参考值，而不是年级标签本身）。校准簿按三席分列：基准件席（类别 A）65（17.81%），持表人席（类别 B）49（13.42%），回读席（类别 C）251（68.77%），合计 365。回读席接近七成，单点偏倚的标准误会小；基准件席不足两成，斜率只靠很少几个 X，线性结论容易被一两个锚点左右。
什么时候不该用
没有参考值、只想拆重复性与换人，用交叉量具R&R 或嵌套量具R&R。两台未校准仪器互相比较、没有更高一级基准，用Bland-Altman。过程已受控、规格在手、要报能力指数，用正态能力——那一页的 Cpk 回答不了「千分尺在 50 mm 处是否偏 0.02」。
如何选择方法
有溯源参考值、关心偏倚随 X 变不变 → 本页。无参考值、关心人与件的方差 → R&R。两法对测、单位相同、问能否互换 → Bland-Altman。规格与受控过程 → Cpk。不要用 Cpk「已经 1.33」跳过校准。
线性与偏倚：参考值 + 重复读数；偏倚、斜率、显著性。
交叉 / 嵌套量具R&R：无基准件时的重复性与再现性。
Bland-Altman：两法成对差值的 LoA，不是对量块。
正态能力分析：过程对规格的 Cp / Cpk，不是量具校准。
输入、输出与限制
输入
参考值列必须是已知基准，不能用过程件的「估计真值」循环论证。测量列勾数学成绩（练习）。持表人可选：要看偏倚是否因人而异，把班级放进操作者角色；本页占用表仍会单独点名持表人席。覆盖量程：基准件应散在低、中、高，而不是全挤在及格线附近。
参考值：溯源或教学锚点。
测量值：量具重复读数。
操作者（可选）：持表人。
重复：每个基准件上的回读。
输出
教学表列名为项目、类别、统计量、取值。A/B/C 是基准件席、持表人席、回读席。没有斜率 t 值列，也没有 Cpk。方法会拟合 bias = α + βX 并检验 β=0、以及各点偏倚是否为 0；那些数字若出现在别的卡片，按卡片读。68.77% 只是回读席占比。
产品限制
基准件席过瘦时，线性斜率几乎不可信。
参考值没有跨度，β 与 0 无法区分。
把过程件均值当成 X，偏倚会被做小。
本页不输出过程能力指数。
案例
研究问题。 计量员怀疑量具（练习里用数学成绩冒充读数）在高分段越来越「送分」，想在若干锚点上看平均偏倚，并检验偏倚对参考值的斜率。
工作表「Sheet1」。测量：数学成绩。参考值：预先写好的锚分（练习可用年级段中点或教务锁定分，并在方法里承认这只是量程占位）。持表人：班级。本页 365 条：基准件席 65（17.81%），持表人席 49（13.42%），回读席 251（68.77%）。回读很密、锚点很少——单点 t 检验有力，全量程直线容易被两端两个点撬动。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 上传定量成绩表
工作表「Sheet1」。参考值应另有一列；没有就先在表里写锚分，不要用学号冒充 X。
步骤 2 · 分清基准和读数
数学成绩是 Y。参考值是 X。班级若进入，只当持表人。姓名离开。
步骤 3 · 选择线性与偏倚
目录搜索「线性」或「偏倚」。不要选正态能力。
步骤 4 · 指定 X、Y 与可选持表人
参考值列、测量列、可选操作者。每个锚点应有多次回读。运行。
步骤 5 · 先看席位再看斜率
基准件席若只有一成七，斜率「不显著」可能只是 X 太少。不要去占用表找 Cpk。
如何阅读输出
校准簿合计 365。基准件席 65（17.81%）决定直线有几个 X 可倚；持表人席 49（13.42%）决定偏倚会不会被人带走；回读席 251（68.77%）决定每个 X 上的平均读数有多稳。回读席接近七成，点偏倚的置信区间会窄；锚点不足两成，β 的检验容易「不显著但图在爬」。
| 项目 | 类别 | 统计量 | 取值 |
|---|---|---|---|
| 量具线性与偏倚研究 | 类别 A | 频数 | 65 |
| 量具线性与偏倚研究 | 类别 B | 频数 | 49 |
| 量具线性与偏倚研究 | 类别 C | 频数 | 251 |
| 量具线性与偏倚研究 | 合计 | 有效样本 N | 365 |
| 量具线性与偏倚研究 | 类别 A | 占比(%) | 17.81 |
| 量具线性与偏倚研究 | 类别 B | 占比(%) | 13.42 |
| 量具线性与偏倚研究 | 类别 C | 占比(%) | 68.77 |
左右滑动可查看完整表格
教学示例表在 StatsX 工作台中的计算结果口径。
阅读顺序：X 是否真是基准 → 三席谁瘦 → 各点偏倚正负是否同号 → 直线斜率。Cpk 哪怕已经 1.33，只说明过程相对规格还有余量，说明不了量块上是否偏 0.02。Bland-Altman 的均值差是两台未校准仪器的互偏，不是对量块的偏倚。
持表人席只有 13.42%，若斜率因某一班而起，应拆开重拟合，而不是宣布「量具线性合格」。回读席 68.77% 不能写成「线性解释了六成八的偏倚」——那是回读条数占比，不是 R²。
理论与公式
参考值 X_i 上取 r_i 次读数，点偏倚为：
线性模型把偏倚写成参考值的函数：
H₀: β=0 表示偏倚不随量程爬坡（无线性误差）。H₀: b_i=0 是单点无偏。加权最小二乘可用各点回读方差的倒数作权。过程能力
用的是过程均值与过程 σ，规格在图纸上，不在量块证书上。SPSS「回归」把偏倚对参考值拟合，核对 α、β 与 t；Minitab 的 Gage Linearity and Bias Study 还按 AIAG 给线性占公差的百分比。本页占用表的 17.81% 不是那个百分比。
注意事项
用过程件均值当参考值，偏倚会被自己吃掉。
锚点全挤在中段，斜率对两端失明。
Cpk 合格不能代替线性研究。
回读席占比不是 R²，也不是线性贡献。
持表人席过瘦时，不要把某人的手法写成量具属性。
Bland-Altman 的偏倚不是对量块的偏倚。
常见问题
参考文献
AIAG. Measurement Systems Analysis (MSA). Automotive Industry Action Group.
ISO 5725-1. Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results.
Montgomery, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. Wiley.
费业泰. 误差理论与数据处理[M]. 机械工业出版社.