线性回归（最小二乘法）

先看因变量类型，再看你要的是一次进入全部自变量，还是分块检验增量解释力。只关心两列线性共变、不估计条件均值时，Pearson 相关更直接。VIF 很高、系数符号不稳时，可对照岭回归。

• 线性回归（OLS）：1 个定量 Y，1–30 个 X；输出 B、Beta、t、p、VIF、R²、调整 R² 与 F。

• 分层回归：自变量按理论分块进入，看 ΔR² 是否显著。

• 二元 / 有序 / 多项逻辑回归：Y 为分类时不要硬套线性概率模型。

• Pearson 相关：两列线性相关，不控制其他变量。

输入

因变量必须为定量。自变量可为定量或定类：定类列按 drop-first 虚拟编码进入设计矩阵。分组变量可选，用于分组独立建模，不是固定效应本身。

• 自变量：最少 1 个，最多 30 个（定量或定类）。

• 因变量：最少 1 个，最多 1 个（定量）。

• 分组变量：最少 0 个，最多 2 个（定类）。

输出

结果表给出各自变量（含截距）的非标准化系数 B 与标准误、标准化 Beta、t、p、VIF，以及模型 R²、调整 R² 与 F 检验。同时输出拟合/系数图与文字洞察。若启用分组，将分别给出各组回归表与拟合优度对比图。

产品限制

• 缺失按分析变量成表删除，有效 N 以结果表为准。

• 定类自变量若疑似编号 / ID 会被拒绝；仅一个类别时无法编码。

• 分组建模只保留样本量最大的前 12 组。

• 任一非截距 VIF 大于 10（或 VIF 无法计算）时，工作台会把岭回归作为可解释主结果，OLS 表仍保留作诊断。本教学示例 VIF 均接近 1，走的是 OLS。

研究问题。 一份成绩表记录了语文、数学、英语分数与平均分。研究者想估计三门单科分数与平均分的线性关系，并比较三者的标准化贡献。

教学示例来自定量成绩表，工作表为「Sheet1」，有效样本量 770。自变量为语文成绩、数学成绩、英语成绩，因变量为平均分。下载后可在工作台按同样角色复现本页系数。

下载教学示例表（定量成绩）

1. 步骤 1 · 上传表格

   打开工作台，将 Excel / CSV / JSON 拖入上传区。本案例使用定量成绩 xlsx，确认工作表为「Sheet1」。单文件不超过 20 MB。

2. 步骤 2 · 查看画像与质量

   在列画像中确认语文、数学、英语与平均分为定量，缺失可接受。不要把编号列拖进自变量。

3. 步骤 3 · 选择「线性回归（最小二乘法）」

   在算法目录搜索「线性回归」，点选线性回归（最小二乘法）。适合/可用标记仅供参考，仍以研究问题为准。

4. 步骤 4 · 指定变量并运行

   自变量勾选语文成绩、数学成绩、英语成绩（最多 30 个）；因变量勾选平均分。本案例不使用分组。点击运行分析。

5. 步骤 5 · 阅读结果

   先核对有效 N 与整体 F、R²，再读各系数的 B、Beta 与 p，最后看 VIF。图与表不一致时以表为准。

下表由同一份教学示例在 StatsX 中运行线性回归得到。有效 N 为 770。模型 R² = 0.534，调整 R² = 0.532，F = 292.477，p < 0.001，整体线性关系统计显著，三门成绩合计解释平均分约 53.4% 的变异。

【线性回归·平均分】统计显著(p < 0.001, α=0.05)，R²=0.534，调整R²=0.532，自变量解释约 53.4% 变异。 【显著自变量】语文成绩(B=0.179, Beta=0.419, p < 0.001, 正向)；数学成绩(B=0.191, Beta=0.435, p < 0.001, 正向)；英语成绩(B=0.185, Beta=0.435, p < 0.001, 正向)

解读顺序建议：有效 N → 整体 F 与 R² → 各变量 B 的符号与 p → Beta 比较相对贡献 → VIF 是否远大于 10。本案例语文 B = 0.179、数学 B = 0.191、英语 B = 0.185，三者均正向且 p < 0.001；数学与英语的 Beta 均为 0.435，略高于语文的 0.419。VIF 为 1.001–1.002，共线性可忽略。截距 B = 33.141 是三门成绩均为 0 时的平均分预测值，通常不作实质解释。统计显著不等于因果：成绩变量同属学业表现，系数描述的是条件关联。

设因变量 Y 与设计矩阵 X（含截距列）满足线性模型，误差均值为 0。普通最小二乘估计为：

第 j 个自变量的标准化系数把斜率换到「各自一个标准差」的尺度，便于跨变量比较：

拟合优度与方差膨胀因子为：

其中 R_j² 是把 X_j 对其余自变量回归得到的决定系数。整体 F 检验的原假设是全部斜率均为 0。定类自变量展开为 k−1 个虚拟变量后，系数相对于被省略的参照水平解释。分组建模时，上式在各组子样本内分别成立，不能把全样本系数直接套到每一组。

• OLS 描述的是条件均值的线性近似，不自动等于因果效应。

• VIF 大于 10 时系数标准误会放大；StatsX 此时可能改以岭回归为主结果，核对软件时要先看估计方法。

• 合成指标（如平均分）与其组成项同时进入模型时，R² 容易偏高，解释应限于条件关联，而不是「发现了新机制」。

• 分组对比展示的是各组各自的回归，组间系数差需要另做交互或分层检验，不能只靠两张表「看起来不同」。

• p 值显著仍应报告 B、Beta 与 R²：解释力很低时，显著系数的实践意义可能有限。

线性回归常与相关、分层进入或分类因变量模型衔接。

• 何晓群, 刘文卿. 应用回归分析[M]. 中国人民大学出版社.

• Wooldridge, J. M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. Cengage.

• Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. Applied Multiple Regression/Correlation Analysis for the Behavioral Sciences. Routledge.