稀疏格占用 72，能不能先删掉这些格子再拟合三维表？

不要。删薄格等于按结果挑选数据，剩下的稠密格会决定交互。五年级交叉往往最瘦，删掉以后「性别 × 办学性质」看起来更干净，却不再代表整张问卷。应合并水平或改精确算法，而不是把 A 档 72 条占用抹掉。

性别×年级的卡方已经显著，为什么还要上对数线性？

二维卡方不管第三维。办学性质一加进来，原来的关联可能是被公立/私立搅出来的，也可能出现必须留下的三阶交互。卡方回答「这两列独不独立」；本页回答「三维结构里哪一阶可以拿掉」。

把就读年级当成因变量做多项 logit，和本页谁负责交互？

多项 logit 把年级当响应，性别、办学性质当解释，估计的是对照某一档年级的对数发生比。对数线性把三列对称看待，三阶交互表示「两列关联随第三列改变」。问题若是「谁更容易在六年级」，用多项；问题若是「表的结构」，用本页。

SPSS HILOGLINEAR 的似然比，该和占用表 24.66% 对吗？

不该。24.66% 是稀疏格占用份额。应对的是同一套因素、同一层次（例如去掉 ABC 仍留全部二阶）下的 G² 与自由度。SPSS「分析 → 对数线性 → 模型选择」不会输出「类别 A/B/C + 频数」这种长表。对不上时先查：是否用了无效样本、五年级有没有被合并、缺失是不是成表删除。

中等格只有 43，能不能写第三个因素可以丢掉？

不能。43 只说明「不瘦不胖」的过渡带窄。第三个因素能不能丢掉，看删掉与它有关的交互之后 G² 涨多少，以及薄格是不是都绑在这个因素的某个水平上。占用窄不是删因素的许可证。

对数线性模型

这篇能回答什么

对数线性模型回答的是「性别、年级、办学性质挤在同一张三维表里时，哪些边和哪些面必须留下」。它对格子期望 μ 取对数，写成各因素主效应加交互，不预先指定哪一列是因变量。教学表把格子按占用厚薄打进三档：稀疏、中等、稠密。它不是 Wald 系数表，也不是「三种办学性质的人数」。

适合：三个及以上定类变量的关联结构——学生性别 × 就读年级 × 学校办学性质，或渠道 × 学历 × 是否续费。教学占用合计 292：稀疏格 A 72（24.66%），中等格 B 43（14.73%），稠密格 C 177（60.62%）。质量堆在 C，薄格子仍占约四分之一；删掉 A 再拟合，交互会被胖格子绑架。

什么时候不该用

只要一张二维交叉人数、要看独立性，主分析是卡方检验，描述铺垫用列联表。已经指定「是否续费」为响应、其余为解释，应走二元逻辑回归或广义线性模型的二项族。对浓度–速率点拟合弯曲曲线，用非线性回归。学号不能当因素。

如何选择方法

先问有没有「被解释的那一列」。没有，因素对称，要看哪一阶交互可以拿掉 → 本页。只有两列、只要 χ² → 卡方。有响应、要 OR → logit / 多项 logit。把格子人数当泊松 Y、因素当 X，GLM 泊松对数连接与对数线性在数学上通，但本页强调层次删交互、不报「某因素对次数的 IRR」。

对数线性模型：2 个以上定类因素；输出层次项与格子占用厚薄。
列联表 / 卡方：两列交叉人数与独立性，不拆三阶交互。
广义线性模型（泊松 + 对数连接）：指定次数为 Y 时的回归表述。
非线性回归：连续 X–Y 曲线，不是列联表。

列联（交叉）分析

用于探索不同分组群体在目标分类变量上的交叉分布与内部结构差异。

卡方检验

用于检验不同分组群体在分类目标变量上的分布构成是否存在显著差异。

广义线性模型

在统一框架下指定分布族与连接函数，覆盖正态、二项、Poisson等回归。

拟合工具箱

对自定义或常用非线性函数（指数、logistic生长等）做曲线拟合。

输入、输出与限制

输入

因素必须是定类：学生性别、就读年级、学校办学性质，可选再加作业完成行为。行是个案，算法先交叉成表再拟合。按所用因素成表删除缺失。

分类因素：最少 2 个，最多 6 个定类列。
层次：从相互独立到饱和（含最高阶交互）之间选择。

输出

结果表项目列写「对数线性模型」。A/B/C 是稀疏 / 中等 / 稠密格子占用，合计 292。没有把交互项印成 Wald z。图是工作台给出的配对散点，只能当可视化附件；层次比较与占用以表为准。

产品限制

占用合计按格子厚薄清点，不必等于问卷回收 500 行。
期望过小的薄格子会让似然比 G² 的 χ² 近似变脆。
因素水平一多，饱和模型参数个数会爆，应先合并稀有水平。
多选题各选项不是互斥因素，不要直接交叉。

案例

研究问题。 学生问卷要看「性别 × 年级 × 办学性质」三维表里，三阶交互能不能拿掉。如果拿掉以后拟合仍过得去，报告两两关联就够；如果拿不掉，按性别谈年级构成时必须同时写办学性质。

教学示例来自学生问卷「有效样本数据」。因素勾选学生性别、就读年级、学校办学性质。占用合计 292：薄格 72、中格 43、厚格 177。五年级本身人少，薄格会集中在「五年级 × 某一性别 × 某一办学」。下载后按同样三列复现占用口径。

下载教学示例表（学生问卷）

在 StatsX 中操作

步骤 1 · 放入问卷工作表

选用「有效样本数据」。不要用「无效样本数据」去充行数。文件不超过 20 MB。
步骤 2 · 确认三列都是定类

学生性别、就读年级、学校办学性质应为类别。数学学习兴趣是量表均分，不要当作第三个因素。
步骤 3 · 点选对数线性模型

目录搜「对数线性」。不要误选列联表——那一页不拆三阶交互。
步骤 4 · 勾选因素并选层次

至少放进性别、年级、办学性质。先拟合含三阶交互的饱和模型，再删最高阶，看偏差涨多少。
步骤 5 · 对照厚薄再谈交互

先看薄格是不是都堆在五年级。厚格占比高不能写成「三阶交互显著」。

画像里核三列定类水平数，兴趣分不要当因素。

如何阅读输出

下表按格子厚薄分档，不是「办学性质三种」。合计 292。A 稀疏 72（24.66%）是期望或观测偏瘦的格子；B 中等 43（14.73%）是中间带，本例最窄；C 稠密 177（60.62%）吃掉六成占用。分母是占用口径下的合计，不是 500 份问卷。

对数线性模型结果表

项目	类别	统计量	取值
对数线性模型	类别 A	频数	72
对数线性模型	类别 B	频数	43
对数线性模型	类别 C	频数	177
对数线性模型	合计	有效样本 N	292
对数线性模型	类别 A	占比(%)	24.66
对数线性模型	类别 B	占比(%)	14.73
对数线性模型	类别 C	占比(%)	60.62

左右滑动可查看完整表格

教学示例表在 StatsX 工作台中的计算结果口径。

工作台给出的自变量因变量散点 — 教学图沿用自变量–因变量散点样式，便于核对接力视图；对数线性的对象是格子，引用请用占用表，不要把橙线读成性别的斜率。

C 占 60.62% 只说明少数胖格子装了大多数人。写「公立 × 某一年级」很热闹，却把五年级那一头的薄格（A）藏起来，三阶交互的检验会被胖格牵着走。B 只有 43，说明「不瘦不胖」的过渡带很窄，合并水平时不要把 B 和 A 一锅炖完再宣称模型变简。

阅读顺序：占用合计 → 薄格落在哪一个五年级交叉 → 饱和模型相对独立模型的偏差 → 删掉三阶交互后偏差涨了多少。表里没有 Wald，就不要给交互项补一颗星。层次原则：留下三阶就必须留下它包含的二阶与主效应。

理论与公式

三维表格子期望 μ_{ijk} 的对数线性展开为

相互独立模型只留主效应；均匀关联留下全部二阶、去掉三阶。拟合用泊松对数似然或多项核。偏差（似然比）

渐近上 G² ~ χ²，自由度是被拿掉的独立参数个数。教学占用把格子按 n_{ijk}（或期望）切开：本例 N_occ=292，n_A=72，n_B=43，n_C=177。薄格过多时，χ² 尾概率只能当参考。对数线性与「指定格子人数为 Y 的泊松 GLM」共享均值结构，但本页不输出 IRR，也不把某一个因素改叫因变量。

注意事项

零格子会让对数期望无定义，需要连续性修正或合并水平。
删薄格再拟合，等于按结果删数据，交互会被胖格决定。
兴趣分、总分是定量，硬切成三档再当因素会改变问题。
二阶显著不等于三阶可以忽略，要用嵌套偏差检验。
图上的连续散点不是列联表，论文引用占用与 G²。

常见问题

参考文献

Agresti, A. Categorical Data Analysis. Wiley.
Bishop, Y. M. M., Fienberg, S. E., Holland, P. W. Discrete Multivariate Analysis. MIT Press.
Haberman, S. J. Analysis of Qualitative Data. Academic Press.
张文彤, 董伟. SPSS 统计分析高级教程[M]. 高等教育出版社.