多维尺度分析

先问数据长什么样。对象之间已经有「有多不像」→ MDS。只有一张定类交叉表 → 对应分析。已知组别、要监督分开 → 线性判别。要把人聚成几簇、不需要感知轴 → 聚类。不要把双标图上的行点距离当成 MDS 的应力。

• 多维尺度（本页）：距离/不相似矩阵，或对象×属性的定量评分；输出坐标、维占用与感知图。

• 对应分析：定类×定类列联，输出惯性与行列双标图。

• MaxDiff：组内最佳/最差，给属性份额，不给欧氏坐标。

• 分层聚类：树状合并样本，不恢复两两距离的平面嵌入。

输入

学生问卷没有现成的对象距离。运行前新增「本校 / 邻校 / 示范校」的不相似分（0=几乎一样，10=完全不同），或对这三所对象各打若干属性分再由软件构造距离。对象至少 3 个；维数教学默认 2，第三维占用用来提醒还有剩余结构。编号列不能当距离。

• 对象评分或不相似：至少 3 个定量列（对象）或一张对称距离。

• 嵌入维数：常用 2；个案再按最贴近轴切成 A/B/C 占用。

输出

结果表先给出三条维占用：A 43.3%、B 25.77%、C 30.93%，分母 194。完整过程还有各对象坐标与感知图。应力（拟合坏度）按 Kruskal 公式计算，教学占用表不打印应力数字，论文里应另报，不要把 43.3% 写成「第一维解释了 43% 方差」。

产品限制

• 对象太少（只有 2 个）无法稳定估计二维。

• 缺失的不相似对越多，配置越容易旋转、翻转。

• 维占用是个案贴轴的互斥切片，加总 100%，不是特征值比。

• 本页不输出 t、不输出 F，也不把点距当成回归系数。

• 图上靠近只表示复原后的距离小，不能写成「办学性质导致口碑」。

研究问题。 招生办想画一张「本校、邻校、示范校」的感知图：家长到底是按声望分开它们，还是按通学便利、还是按费用负担。对应分析需要交叉表；他们手里是两两不像的分数。

教学占用基于学生问卷完整个案 194（下载后补上对象不相似列）。贴在声望维的 84 人，贴在便利维的 50 人，贴在负担维的 60 人。B 最瘦，说明「离家近」并不是这份样本里主导判断的轴。图上三所学校的相对位置要对照坐标表，不能只看这三条占比。

下载教学示例表（学生问卷）

1. 步骤 1 · 先有对象，再谈嵌入

   上传学生问卷后，若还没有本校 / 邻校 / 示范校的不相似分，先在表里加列。工作表仍用「有效样本数据」。

2. 步骤 2 · 画像确认距离是定量

   不相似分应显示 0–10 一类数值。办学性质是定类，那是对应分析的行，不要当作 MDS 的距离。

3. 步骤 3 · 目录搜「多维尺度」，躲开「对应」

   两个都画感知图。有交叉表点对应分析；有距离点本页。

4. 步骤 4 · 把对象列放进角色

   对象或不相似列一次勾齐。维数先保持二维，运行后再看第三维占用是否厚到必须加维。

5. 步骤 5 · 先读维切片，再旋转着看点

   把 A/B/C 写成声望 / 便利 / 负担。点的左右对调不改变距离，命名轴时看对象排列，不看占用谁最大。

下表是三条感知维的个案占用。完整个案 194。声望维（A）84，43.3%；便利维（B）50，25.77%；负担维（C）60，30.93%。84+50+60=194。这不是「有 84 所学校」，是 84 人的判断更贴第一条轴。

A 占 43.3% 不能写成「第一主成分解释 43%」。MDS 没有那套特征值分解（经典 Torgerson 度量法除外，教学占用仍不是特征值）。B 只占 25.77%，便利轴可能存在但很少有人主要靠它做判断。读图顺序：对象点是否分得开 → 轴如何命名 → 再回头看占用。

和对应分析对读时：对应分析的「质量」是列联边缘份额，本页的 A/B/C 是贴轴人数。两张图看起来都像散点，输入完全不同。表里没有 t 或 F，不要为了显得「显著」去编一个。

记对象 i,j 的输入不相似为 \delta_{ij}，嵌入后的欧氏距离为 d_{ij}=\|y_i-y_j\|。非度量 MDS 用单调变换 \hat d_{ij}=f(\delta_{ij})，再最小化 Kruskal 应力：

S 越小越好；常用口诀 0.05 优秀、0.10 尚可、0.20 勉强，但这是经验而不是检验。个案 h 的贴轴规则：取其对象评分向量与各坐标轴的绝对相关（或对轴的投影绝对值），最大者进入该维占用。

本例 w_A=43.3\%，w_B=25.77\%。对应分析分解的是 (P-rc^\top)/\sqrt{rc^\top} 这类标准化残差，没有 \delta_{ij}。两套坐标不能直接叠在一张图上比远近。

• 配置可旋转、反射，轴的左右没有绝对意义，只靠对象排列命名。

• 维占用随维数改变：从 2 维改到 3 维，84/50/60 会重分。

• 把李克特总分当「距离」没有几何含义。

• 稀疏的两两评分会让局部点塌缩，先检查缺失。

• 不要用本页百分比去对 SPSS 对应分析的惯量比。

定类交叉改走对应分析。属性对决走 MaxDiff。只要口碑一个点数走 NPS。只要分群、不要轴，走分层聚类。

• Kruskal, J. B. Multidimensional scaling by optimizing goodness of fit to a nonmetric hypothesis. Psychometrika, 1964, 29(1): 1–27.

• Borg, I., Groenen, P. J. F. Modern Multidimensional Scaling. Springer.

• Torgerson, W. S. Theory and Methods of Scaling. Wiley.

• Greenacre, M. Correspondence Analysis in Practice. Chapman & Hall. （与对应分析对照）