多层线性与混合效应模型
多水平/混合效应模型 (Mixed-Effects)
把总体平均规律写成固定效应，把受试者、班级或刺激条目的特异基线写成随机效应，用同一套似然处理不平衡重复观测与聚类残差。
这篇能回答什么
混合效应模型（Laird–Ware）回答的是：「固定部分给出全体的平均斜率，随机部分给出每个聚类自己的偏离，两者加在一起才等于一条观测」。随机效应不必是学校——也可以是受试者（纵向随访）、刺激图片（交叉设计）或病房。本工作台当前估计的是随机截距混合模型：每个聚类有一条被收缩的基线，协变量斜率在全样本共享。随机斜率、交叉随机效应属于同一家族的扩展，但本页输出里没有单独的斜率方差。
适合：长表重复测量（同一人多行）、非平衡面板、缺失不按「整行受试者删除」也能留下其余时点的资料，以及任何「误差明显成团」的定量结局。教学示例借用成绩表的班级作为聚类因子、语文成绩作为固定协变量、平均分作为结局——用来演示当随机截距方差被收到零时，混合似然会怎样说话。
什么时候不该用
宽表、每次测量齐整、只问「三次均值是否一起变」、没有时变协变量时，重复测量方差分析 更直接，也带球形度。只要总体平均、用工作相关矩阵扛重复，可看广义估计方程。面板里吸收不随时间变的个体异质性，对照面板随机效应。教育文献里强调 Level-1/Level-2 与中心化术语时，专页是多层线性模型 HLM。
如何选择方法
把设计画成「谁在重复、缺不缺格、有没有随时间变的 X」。齐整宽表、只检验场合主效应 → 重复测量 ANOVA。长表、缺访、要加时变协变量或准备谈随机斜率 → 混合模型。只要边际均值、不声明随机效应分布 → GEE。只要经济面板的个体随机扰动 → 面板 RE。教育嵌套、先报 ICC 再谈中心化 → HLM 专页。
混合效应（本页）：1 个聚类因子 + 固定协变量 + 定量 Y；固定效应 z 检验与随机截距方差。
重复测量 ANOVA：宽表 2–10 列，时间主效应 F、ε 与偏 η²。
GEE：边际模型，工作相关，不估计随机截距方差。
HLM 专页：同一引擎的教育嵌套讲法，重点在 ICC 与中心化。
输入、输出与限制
输入
随机效应分组恰好 1 列（受试者、班级、中心）。固定效应自变量 1–30 个。因变量 1 个定量列。长表：同一聚类多行是合法输入。按所用列删缺失，不会因为某人缺了某一期就丢掉他其余行——这与宽表重复测量不同。
分组变量：最少 1 个，最多 1 个（随机效应聚类）。
自变量：最少 1 个，最多 30 个（固定部分）。
因变量：最少 1 个，最多 1 个（定量）。
输出
固定效应表：系数、标准误、z、p。表注给出完整个案数、聚类数、由零模型算出的组内相关、随机截距方差与残差尺度。引擎还会计算 Nakagawa 边际 / 条件伪 R² 与 AIC/BIC，供诊断；教学结果表把固定部分与方差分量放在一起。图按聚类展示收缩后的基线偏离。
产品限制
至少 30 行、3 个聚类；聚类上限 200，拟合最多 2500 行。
当前实现是随机截距，不输出随机斜率方差、不输出交叉随机效应。
不自动生成时间多项式或场合因子；纵向时间须作为普通自变量传入。
未收敛时洞察会警告系数仅供参考。
案例
研究问题。 把班级当作随机聚类，问：在允许每个班有自己的基线之后，语文成绩作为固定协变量是否仍与平均分关联；若随机截距方差塌缩，混合模型会给出什么诊断。
教学表示例工作表「Sheet1」，聚类选班级，固定效应选语文成绩，结局选平均分。完整个案 790，聚类 18 个。本页随机截距方差被收到 0.0000——混合似然的结论是：对这个 Y，聚类因子几乎不提供额外的残差结构。下载后按同样角色复现固定效应表。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 上传表格
打开工作台，将 Excel / CSV / JSON 拖入上传区。纵向数据保持长表（一人多行）；本教学用成绩截面。确认工作表为「Sheet1」。单文件不超过 20 MB。
步骤 2 · 查看画像与质量
确认结局为定量，聚类列水平数 ≥3，固定协变量不是聚类 ID 本身。
步骤 3 · 选择「多水平/混合效应模型」
在算法目录搜索「混合效应」或「MLM」，点选多水平/混合效应模型 (Mixed-Effects)。不要误选重复测量方差分析（那是宽表）。
步骤 4 · 指定聚类与固定部分并运行
分组变量勾选班级（或受试者 ID）；自变量勾选语文成绩（或时间、处理）；因变量勾选平均分。点击运行分析。
步骤 5 · 阅读结果
先看随机截距方差是否塌缩，再读固定效应 z。若你真正关心的是三次齐整均值，回头核对是否本该用重复测量 ANOVA。
如何阅读输出
混合似然在 790 条完整个案、18 个聚类上给出下表。随机截距方差 = 0.0000，残差尺度 = 31.0807，由此换算的组内相关 = 0.0000：聚类几乎不贡献额外相关。固定部分 const = 61.6153（SE 1.0547，z = 58.4202），语文成绩 = 0.1737（SE 0.0138，z = 12.5606），两行 p 均 <0.001。
| 固定效应 (Fixed Effects) | 估计系数(Coef) | 标准误 | z值 | P值 |
|---|---|---|---|---|
| const | 61.6153 | 1.0547 | 58.4202 | <0.001 |
| 语文成绩 | 0.1737 | 0.0138 | 12.5606 | <0.001 |
左右滑动可查看完整表格
Level-1(样本量)=790，Level-2(聚类组数)=18。模型组内相关系数 ICC = 0.0000。方差分量：组间截距方差 τ00=0.0000，残差方差 σ²=31.0807。
固定部分与表一致：【固定效应】const(coef=61.6153, p < 0.001)；语文成绩(coef=0.1737, p < 0.001) 对因变量显著。 随机截距同时塌缩，应写成「混合似然未找到可分离的聚类相关」，而不是拟合失败。
解读顺序：聚类是否真是重复单元 → 随机截距方差有没有塌缩 → 固定斜率的符号与 z → 若你原本想做三次重复测量，本页并没有给出时间主效应 F 或 Greenhouse-Geisser ε。条件伪 R² 把随机部分算进解释力，边际伪 R² 只算固定部分；方差塌缩时二者会靠拢。平均分与语文成绩重叠，斜率仍是条件关联。
理论与公式
一般线性混合模型把第 i 个聚类的向量写成固定设计与随机设计之和
本页取 Z_i 为截距列，G 退化为标量 τ00，R_i 为 σ²I。这是随机截距特例；随机斜率会让 Z_i 包含语文成绩列、G 变成 2×2。边际均值是 Xβ，协方差是 ZGZᵀ+R，从而同一聚类内的观测相关。Nakagawa 边际伪 R² 用固定部分方差比上固定+随机+残差；条件伪 R² 把随机部分也算进分子。重复测量 ANOVA 则把场合当作受试者内因子，要求齐整宽表与（近似）复合对称或球形；缺格通常整名删除。混合模型用长表似然，缺一期只丢掉该行。
注意事项
随机截距方差为 0 表示这个聚类因子对当前 Y 没有可估的额外相关，不是软件故障。
本页没有随机斜率：不能写「每个人的时间轨迹斜率不同」。
齐整的三次重复、只关心场合均值，优先重复测量 ANOVA，并报告 ε。
GEE 不估计 b_i，标准误含义不同，不能把本页 z 直接当成 GEE 的 Wald。
聚类太少时 G 的估计不稳；18 个班已经偏少，塌缩到 0 需要写进局限。
固定效应显著 ≠ 因果，也 ≠ 时间主效应。
常见问题
参考文献
Laird, N. M., & Ware, J. H. Random-effects models for longitudinal data[J]. Biometrics, 1982, 38(4): 963–974.
Pinheiro, J. C., & Bates, D. M. Mixed-Effects Models in S and S-PLUS. Springer.
Nakagawa, S., & Schielzeth, H. A general and simple method for obtaining R² from generalized linear mixed-effects models[J]. Methods in Ecology and Evolution, 2013, 4(2): 133–142.
Diggle, P., Heagerty, P., Liang, K.-Y., & Zeger, S. Analysis of Longitudinal Data. Oxford University Press.