Box-Cox 之后 Cpk 升高，能不能把变换后的指数写进合同？

不能。合同按语文分或杂质 ppm 验收，不按 y=(x^λ−1)/λ 验收。变换只是为了借用正态公式；必须把 1-F(90) 映回原单位。本例右尾已有 188/306，任何「变换后 Cpk>1.33」若对应不到这 61.44%，就是在报告另一个量纲。

Weibull 形状 β 小于 1，当量 Ppk 和正态 Cpk 差一倍，听哪一个？

听当量 Ppk，前提是标识里 Weibull 确实胜出。β<1 表示左端陡、右尾相对更散，6σ 尺子会同时误判两侧。本页合格占位只有 62 人，正态 Cpk 往往因为「均值还在 45–90 中间」而显得体面；分位法会老实反映 90 外侧那 188 人。

能不能跳过个体分布标识，直接勾 Weibull 求当量？

可以运行，但方法里站不住。Weibull 不是偏态数据的默认族；对数正态或 Gamma 也可能 AD 更小。先在标识里看名次，再把胜出族填进本页。自动勾选只是省一次点选，不是替代比较。

语文成绩在 0 处截断，估计出的 λ 为负代表什么？

λ<0 把大 x 压得更厉害，用来对付极重的右尾。0 分使 x^λ 在负指数时爆炸，算法应拒绝或要求先删零。若 0 是缺考，删除后再估 λ；若 0 是真实下限，改用有界 Weibull 或平移，不要报告一个被零点劫持的 λ。

Z 基准怎样换算成和正态能力那张 PPM 可比的数？

先由拟合族得到原尺度双侧超差 p，再 PPM=10^6 p，Z=Φ^{-1}(1-p)。这和正态能力里用 μ、σ 积分是同一类「尾部语言」，只是 p 的来源不同。本例经验右尾 61.44%，p 至少约 0.61，PPM 在十万级以上，Z 接近 0——不要和「4σ 过程」的宣传图放在同一行而不加注。

非正态能力分析

Q: 能不能跳过个体分布标识，直接勾 Weibull 求当量？

可以运行，但方法里站不住。Weibull 不是偏态数据的默认族；对数正态或 Gamma 也可能 AD 更小。先在标识里看名次，再把胜出族填进本页。自动勾选只是省一次点选，不是替代比较。

Q: 语文成绩在 0 处截断，估计出的 λ 为负代表什么？

λ<0 把大 x 压得更厉害，用来对付极重的右尾。0 分使 x^λ 在负指数时爆炸，算法应拒绝或要求先删零。若 0 是缺考，删除后再估 λ；若 0 是真实下限，改用有界 Weibull 或平移，不要报告一个被零点劫持的 λ。

Q: Z 基准怎样换算成和正态能力那张 PPM 可比的数？

先由拟合族得到原尺度双侧超差 p，再 PPM=10^6 p，Z=Φ^{-1}(1-p)。这和正态能力里用 μ、σ 积分是同一类「尾部语言」，只是 p 的来源不同。本例经验右尾 61.44%，p 至少约 0.61，PPM 在十万级以上，Z 接近 0——不要和「4σ 过程」的宣传图放在同一行而不加注。

这篇能回答什么

非正态能力分析承认原始测量的偏态或正支撑，用拟合族的分位数来回答「相对规格还剩多少余量」。常见两条路：直接在 Weibull（或对数正态）上取 0.00135 / 0.50 / 0.99865 分位，拼出当量 Ppk；或者先做 Box-Cox，在变换尺度上算普通 Cpk，再把超差概率映回原单位。Z 基准把双侧超差概率折成等价的标准正态离差，方便和「多少 σ」的口头语言对接。它仍然要求过程统计受控——偏态不是失控的借口。

语文成绩在教学里扮演杂质含量一类的右偏特性：下限 45、上限 90。左尾超差质量 A 56（18.3%），合格占位 B 62（20.26%），右尾超差质量 C 188（61.44%），有效 306。合格占位只有两成，右尾独自超过六成——正态 6σ 会把这条右尾当成「离均值三个标准差」，从而低估冲出 90 的概率。

什么时候不该用

Anderson-Darling 还没跑、不知道该不该离开正态，先做个体分布标识。族已经是正态并且直方图对称，用正态能力即可，不必为了「显得专业」上 Weibull。要一条覆盖总体指定比例的保证带，走公差区间，那不是当量 Ppk。过程还在漂，先Xbar-R 或I-MR。

如何选择方法

看见右偏或正支撑，不要立刻改规格，先问族。Weibull / 对数正态已经在标识里胜出，本页用该族的分位算当量；你更信任变换后近似对称，勾 Box-Cox 并报告 λ。钟形还在、只是 n 很大让 S-W 显著，仍应优先正态能力，并在讨论里交代偏度，而不是自动升级到非正态。

非正态能力分析：选定 Weibull / 对数正态或 Box-Cox；输出当量 Ppk、Z 基准、原尺度超差估计。
正态能力分析：6σ 尺子，要求近似正态。
个体分布标识：只比较 AD，不给当量指数。
公差区间：保证限，不声称过程能力达标。

个体分布标识

对过程数据拟合多种分布并比较拟合优度，为能力分析选分布。

正态能力分析

在正态假设下计算Cp、Cpk等过程能力指数并对照规格限。

公差区间

估计以指定置信水平覆盖总体至少P比例的区间（统计公差）。

Xbar-R控制图

用子组均值图与极差图监控过程均值与组内变异是否受控。

输入、输出与限制

输入

测量列勾语文成绩。规格填 45 与 90。分布角色必须显式指定：Weibull、对数正态，或「Box-Cox 后按正态」。不要把「自动」理解成可以跳过标识——自动只是在已勾选的集合里再估一遍参数。

测量列：1 个正值或可平移的定量列（本例语文成绩）。
分布 / 变换：Weibull、对数正态或 Box-Cox λ（可估计）。
规格：LSL=45、USL=90（教学）。

输出

拟合参数（β、η 或 λ）、当量 Ppk / Z 基准、原尺度上的超差估计，以及直方图叠拟合密度。教学表额外给出左尾 / 合格 / 右尾三档件数，用来核对拟合 CDF 在 45 与 90 处的概率。

产品限制

x≤0 时 Weibull 与对数正态拒绝计算；Box-Cox 在 λ≤0 时同样要求正值。
0.00135 分位在 n=306 时主要靠模型外推，不是样本里真有 1.35‰ 的点。
变换后的 Cpk 不得直接写进以原始分为单位的合同。
本页不替代控制图，也不输出统计公差因子 k。

案例

研究问题。 语文分数顶在高分一侧、低分被 0 附近截住，工程师怀疑正态 Cpk 会把冲出上限 90 的风险说小。需要在 Weibull 或 Box-Cox 下给出当量 Ppk，并核对右尾超差质量是否接近六成。

Sheet1 的语文成绩，有效 306。左尾超差 56，合格占位 62，右尾超差 188。合格占位 20.26% 说明「大多数卷面落在 45–90」这句口头总结不成立；右尾 61.44% 才是主导。下载同一张定量表，规格填 45 / 90，分布选 Weibull 或勾选估计 λ 的 Box-Cox。

下载教学示例表（定量成绩）

在 StatsX 中操作

步骤 1 · 载入同一份成绩簿

上传后停留在 Sheet1。若你刚在分布标识里看到 Weibull 的 AD 最小，把那个结论带到本页，不要另选一族图方便。
步骤 2 · 确认语文成绩与正值

画像中语文成绩为定量。出现 0 分时，Weibull 会失败——先决定删缺考还是改用有界模型，不要给整列加常数。
步骤 3 · 进入非正态能力分析

目录搜「非正态」或「Weibull 能力」。它和正态能力、公差区间是三个入口。
步骤 4 · 指定语文成绩、45 / 90 与族

测量勾语文成绩。LSL=45，USL=90。分布选 Weibull；若要走变换，勾 Box-Cox 并允许估计 λ。运行。
步骤 5 · 对当分位与右尾占位

当量 Ppk 看的是原尺度 90 外侧还剩多少模型概率。右尾件数 188 必须和 1-F(90) 同量级；对不上就回到标识，而不是把 λ 调到合同喜欢的数。

语文成绩、规格与 Weibull 角色 — 测量选语文成绩，规格 45 / 90，分布选 Weibull 或 Box-Cox。

如何阅读输出

类别 A / B / C 是原尺度上的规格占位：A 左尾超差 56（18.3%），B 合格占位 62（20.26%），C 右尾超差 188（61.44%），N=306。拟合密度若在 90 右侧仍堆着一坨，和 C 档 61.44% 一致；若密度在 90 处几乎截断，而 C 档仍有 188 人，说明族选错或 λ 把右尾压扁了。

非正态能力分析结果表

项目	类别	统计量	取值
非正态能力分析	类别 A	频数	56
非正态能力分析	类别 B	频数	62
非正态能力分析	类别 C	频数	188
非正态能力分析	合计	有效样本 N	306
非正态能力分析	类别 A	占比(%)	18.3
非正态能力分析	类别 B	占比(%)	20.26
非正态能力分析	类别 C	占比(%)	61.44

左右滑动可查看完整表格

教学示例表在 StatsX 工作台中的计算结果口径。

Weibull 或 Box-Cox 密度叠在直方图上 — 密度右尾是否越过 90，应和 C 档 188 人对得上。

【当量 Ppk】有效 306。经验右尾 61.44% 对应原尺度 1-\hat F(90)\approx0.61。Weibull 若给出接近这一数量的模型超差，当量 Ppk 会远低于 1，这是诚实的。Box-Cox 之后若指数突然升高，多半是变换尺度上的 Cpk，不能把它抄回「语文分相对 45–90」。Z 基准把 0.61 的单侧尾部折成很小的等价 Z，和「过程有 4σ」的宣传相反。

阅读顺序：族与 λ → 原尺度 45 / 90 处的模型概率 → 三档件数 → 当量 Ppk / Z 基准。禁止只展示变换后的钟形图交差。

理论与公式

Weibull 路径用拟合分位代替 \mu\pm3\sigma。记 \hat x_{p}=F^{-1}(p)，当量表现为

Box-Cox 路径先把正值映到近似对称的 y：

在 y 上算普通 Cpk 之后，超差概率必须用 F_X(45)、1-F_X(90) 回到语文分。Z 基准取 Z=\Phi^{-1}(1-p_{total})，其中 p_{total} 是双侧模型超差。本例经验右尾已是 61.44%，p_{total} 至少这个量级，Z 不会接近 4。

注意事项

变换后指数升高，合同仍按原始分验收——必须报告原尺度超差。
β<1 的 Weibull 在 0 附近无界密度，0 分很多时先交代截断。
n=306 估 0.00135 分位是模型外推，对 λ 和 β 敏感，应做敏感性。
合格占位只有 20.26% 时，把当量 Ppk 写成大于 1 一定和 C 档冲突。
选错族比「没用非正态」更糟：假密度会把 188 个右尾点解释成偶然。

常见问题

参考文献

Box, G. E. P., Cox, D. R. An analysis of transformations. Journal of the Royal Statistical Society B, 1964, 26(2): 211–252.
Clements, J. A. Process capability calculations for non-normal distributions. Quality Progress, 1989, 22(9): 95–100.
ISO 22514-4. Capability of process measurement. Non-normal distributions.
Hahn, G. J., Shapiro, S. S. Statistical Models in Engineering. Wiley.