综合评价模型
主成分综合评价 (PCA)
先把相关指标正交成主成分，再按 Kaiser 准则留下 λ>1 的成分，用重新归一的方差贡献率加权得到可正可负的综合分 F。
这篇能回答什么
主成分综合评价回答的是「相关很高的一篮子指标，能不能压成少数几个互不相关的方向，再按各方向解释的方差给对象打一个 F」。流程是：Z-score 标准化 → 相关阵上的 PCA → 留下特征值 λ≥1 的成分（至少一个）→ 把留下的方差贡献率重新归一成权重 → F_i=Σ_k ω_k F_{ik}。F 以 0 为中心，高于样本平均为正、低于为负。
适合：区域经济、财务比率、一批高度共线的发展指标。本教学示例在面积、楼层、总楼层、建筑年份、单价五列上演示——这五列相关其实偏弱，前三个 λ 只略大于 1，累计 62.57%，洞察会写「信息保留一般」。可选对象名称列与 1 个定类分组：分组后每组独立标准化、独立提取，组间 F 不能横比。
如何选择方法
先分清你要「压缩共线再打分」、「找潜在构念」还是「对理想点排序」。共线严重且目标是一个综合指数，用本页；题目要归属到可命名因子，用 EFA / 效度分析；要 D+、D−、C，用 TOPSIS。CRITIC / 熵权给的是原始指标权重，不经过正交旋转。
主成分综合评价：3–50 个定量指标，0–1 个对象标签，0–1 个分组；主表是方差解释，条形图给出 F 前 20 名。
探索性因子分析：KMO / Bartlett / 旋转载荷 / 共同度，目标是构念而不是对象排名。
TOPSIS：理想点几何，C∈(0,1)，不提取特征值。
CRITIC / 熵权：停在 W，没有 F。
输入、输出与限制
输入
评价指标为定量。对象列可选（定类或文本），缺省标签为「样本 i」。分组可选，定类；分组后每组自己做 StandardScaler 与 PCA。
评价指标：最少 3 个，最多 50 个定量变量（目录约束；底层实现在列数≥2 时也能算，但界面按 3 起算）。
评价对象：最少 0 个，最多 1 个。
分组变量：最少 0 个，最多 1 个定类变量。
输出
工作台主表是主成分总方差解释表：成分、特征值、方差贡献率(%)、累计方差贡献率(%)。表注写提取个数与累计解释率。另有碎石图（Kaiser 参考线 λ=1）以及综合分 F 的横向条形图（最多 20 个对象）。洞察给出最高 / 最低 F。分组模式改为每组一行：对象数、成分数、累计解释率、组内第一与平均 F。
产品限制
提取规则固定为 λ≥1，不会改用「累计 80%」或平行分析；若全部 λ<1，仍保留 1 个成分。
ω 是留下的那些方差贡献率的再归一，不是全部 p 个成分的贡献率原值。
使用 sklearn.decomposition.PCA，相当于相关阵特征分解（因已 Z-score）。
主表不打印载荷矩阵，也不打印全部 600 个 F；排名看图与洞察，或导出。
这些规则与 SPSS「分析→降维→因子分析」默认的主成分 + 未加权得分不是同一套输出版式。
案例
研究问题。 综合评价表除面积、楼层、总楼层、单价外，还多一列建筑年份。希望看看五列是否值得压成少数主成分，再给每套房一个 F。
教学示例有效样本 600，五列全部进入。Kaiser 留下 3 个成分：λ=1.0992 / 1.0289 / 1.0056，累计 62.57%。洞察评定「信息保留一般」。综合分最高为样本 243（F=1.415），最低为样本 272（F=−1.414）。未指定对象列时标签为样本 i。依据特征值大于1的原则，共提取出 3 个有效主成分，累计解释了原有变量 62.57% 的信息。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 打开综合评价 xlsx
工作表用「Sheet1」。需要五列都在：面积(平米)、楼层、总楼层、建筑年份、单价(元/平米)。
步骤 2 · 检查共线直觉
若五列两两几乎无关，预期碎石图会在 λ=1 附近走平，累计解释率很难到 80%。那是数据事实，不是程序出错。
步骤 3 · 选择主成分综合评价
搜「主成分综合」或 PCA 打分。不要选成探索性因子分析——角色和输出列都不同。
步骤 4 · 指定五列并运行
评价指标至少勾 3 个，本例勾五列。有房源编号就放进评价对象；按城区分别打分则放分组。
步骤 5 · 先看累计再看 F
累计低于约 60% 时，正文应限制解释。F 的条形图只画前 20 名；全样本极值见洞察。
如何阅读输出
下表是同一教学示例的总方差解释。主成分 1 的 λ=1.0992，只解释 21.95%；第三主成分 λ=1.0056，刚好跨过 Kaiser 线。第四、第五成分 λ<1，不进入 F，但它们仍合计约 37% 的变异被丢掉。依据特征值大于1的原则，共提取出 3 个有效主成分，累计解释了原有变量 62.57% 的信息。
| 成分 | 特征值 | 方差贡献率(%) | 累计方差贡献率(%) |
|---|---|---|---|
| 主成分 1 | 1.0992 | 21.95 | 21.95 |
| 主成分 2 | 1.0289 | 20.54 | 42.49 |
| 主成分 3 | 1.0056 | 20.08 | 62.57 |
| 主成分 4 | 0.9522 | 19.01 | 81.58 |
| 主成分 5 | 0.9224 | 18.42 | 100 |
左右滑动可查看完整表格
依据特征值大于1的原则，共提取出 3 个有效主成分，累计解释了原有变量 62.57% 的信息。
【PCA综合打分】有效样本=600，依据 Kaiser>1 提取 3 个主成分，累计解释 62.6% 变异（信息保留一般）。 【组内排名】综合得分最高：样本 243（得分=1.415）。得分由主成分得分按方差贡献率加权合成。 【得分分布】最低：样本 272（-1.414）；共 600 个评价对象参与排序。
读表顺序：各 λ 是否「一头独大」→ 累计是否够用 → 再谈 F 的名次。本例五个贡献率都在 18%–22%，几乎没有主导方向，F 更像三轴加权平均，区分度有限。样本 243 的 +1.415 与样本 272 的 −1.414 关于 0 对称，符合标准化后的得分尺度。分组后若某城区只留下 1 个成分、另一城区留下 3 个，两边的「第一名」不可比。
理论与公式
对已标准化的矩阵做 PCA，特征值 λ_k 与方差贡献率 α_k=λ_k/Σλ。设 K=#{k:λ_k≥1}（K=0 时取 1）。打分权重与综合分为：
F_{ik} 是第 i 个对象在第 k 个主成分上的得分（sklearn 的 transform）。因为 ω 在留下的 K 个成分上归一，K 个 α 之和等于累计解释率（本例 62.57%），但 ω 本身加总为 1。这与「把全部五个 α 当权重」不同：被丢掉的 37% 不进入 F。EFA 的公共因子模型、旋转与共同度不在本公式里。
注意事项
累计 62.57% 属于「一般」，不宜把 F 写成「覆盖了住房品质的全部信息」。
λ 刚过 1 的第三成分噪声偏大，稳健性附录可试只留前两个成分。
F 可负：负分表示低于本批标准化后的平均位置，不是「违法」或「无效」。
主表没有 600 行得分，写排名须引用洞察、条形图或导出全表。
分组后各城区自己的均值是 0，甲城第一与乙城第一不可比。
成本型单价未反向时，高价会沿某个主成分把 F 抬高或压低，取决于载荷符号，业务上仍须先正向化。
常见问题
参考文献
Jolliffe, I. T. Principal Component Analysis[M]. 2nd ed. New York: Springer, 2002.
Kaiser, H. F. The application of electronic computers to factor analysis[J]. Educational and Psychological Measurement, 1960, 20(1): 141–151.
叶宗裕. 关于多指标综合评价中主成分分析的几个问题[J]. 统计研究, 2002(4): 14–16.