越界仓占 59.6%，是不是这个规划根本没有可行解？

不是。211/354 是探点落在多面体外面的次数，剩下 64+79=143 个点仍可行。没有可行解时，贴边仓和松弛仓应同时空掉，求解器会报不可行而不是给出 x*。C 仓厚，优先检查网格是否比库存允许的范围大，而不是先改目标系数。

贴边仓 79 个点，能不能写成和 DEA 里 TE=1 的矿井是同一批对象？

不能。TE=1 说的是某座矿井落在当前参照集的生产前沿上；贴边说的是某组（甲吨, 乙吨）用尽了至少一条车间约束。座数 24 与试解 354 也对不上。同一张「DEA产能」表可以两用，但效率名单和配产角点没有一一对应。

松弛仓只有 64 个点，最优解会不会藏在内部？

线性目标下不会。最优基本可行解在顶点，属于贴边仓。内点法迭代可以穿过这 64 个内部点，停下来时应已靠到边界。目标或约束非线性时，内部才能出现局部峰，那时必须声明算法，不能再把「贴边=全局」当默认。

SPSS 没有规划求解过程，64/79/211 该和 Excel 求解器对什么？

Excel 求解器打印的是 x*、目标值和约束松弛，不打印三仓直方图。核对应对：决策变量个数、目标方向、每条约束的左端与右端、是否非负。占用合计 354 是探点清点，不要拿去对 24 行矿井。松弛符号约定（b−Ax 还是 Ax−b）写反会把贴边和越界对调。

把目标从利润最大改成成本最小，三仓占比会不会对调？

不会自动对调。可行域由约束决定，与目标方向无关；A/B/C 的定义也不含目标值。会变的是贴边仓里哪一个顶点被选中。若你连约束一起改（例如加入最低产量），可行域变形，占用才会动。

规划求解 · StatsX

这篇能回答什么

规划求解回答的是「决策变量取多少，才能在硬约束下让目标最优」。典型写法是线性规划（Linear Programming, LP）：max cᵀx，s.t. Ax ≤ b，x ≥ 0。求解器给出一组 x*、最优目标值，以及每条约束的松弛。本页教学结果另把求解器扫过的试解点收成互斥三仓：类别 A = 松弛可行（落在可行域内部，松弛全为正），类别 B = 贴边可行（可行且至少一条约束松弛为零），类别 C = 越界不可行（至少违反一条不等式）。

试解点合计 354：松弛仓 A 64（18.08%），贴边仓 B 79（22.32%），越界仓 C 211（59.6%）。可行合计 A+B = 143（40.40%）。C 最厚只说明网格或随机探点大量落在多面体外面，不能写成「六成决策单元无效」——后者是数据包络分析对多座矿井的相对效率语言。

什么时候不该用

要比较多座矿井、医院谁把投入变成产出更有效，用 DEA，不要把 TE 当成规划里的 x*。只要多指标排序，用TOPSIS 或层次分析法。已经做完的因素水平试验看主次，用正交实验极差。要素谁传到谁，用解释结构模型。

如何选择方法

先分清你要一组最优产量/配比，还是一排相对效率分数。规划求解服务一个决策者：给定目标与约束，输出 x*。DEA 给每个 DMU 各解一次径向收缩 LP，输出的是 0–1 效率，不是「下周甲产品做多少件」。同一张矿井投入产出表可以两用，问法不能混。

规划求解：决策变量、目标系数、资源上限；输出 x*、目标值，以及松弛/贴边/越界占用。
数据包络分析：1 个 DMU 标识 + 投入 + 产出；输出 TE、PTE、SE，不给车间配产。
TOPSIS / AHP：方案打分排序，没有 Ax ≤ b 的可行域。
正交极差：已做完的试验日志看因素主次，不求解不等式组。

数据包络分析 (DEA)

评估具有多个输入和多个输出的同类决策单元 (DMU) 的相对效率。

TOPSIS 综合评价

逼近理想解排序法，通过测量各评价对象与最优解/最劣解的距离来进行优劣排名，支持按分组变量分别在组内独立排序对比。

层次分析法 (AHP)

基于专家打分的判断矩阵进行主观赋权的方法，自带逻辑一致性检验。

正交实验设计与极差分析

在多因素多水平实验中，通过代表性抽样大幅减少实验次数，并运用极差法寻找最优参数组合。

输入、输出与限制

输入

需要一张能还原成「变量—资源」的表：决策列（产量、运量、仓位），目标系数（单价、成本），约束列（工时、原料、设备台时）及右端上限。教学练习可用 DEA 产能表的员工人数、工时、设备投入当作资源库存，另设甲、乙两种规格的单位消耗。

决策变量：最少 1 个，最多 20 个非负定量列或手工声明的变量名。
目标与约束：1 个目标方向（最大/最小），1 条及以上线性（或可局部线性化）不等式。

输出

占用表按类别 A/B/C 给出频数、占比与合计 354。本页把三档读成松弛可行、贴边可行、越界。图展示可行域切片或目标等值线；最优顶点应落在贴边仓附近，不会落在越界仓。表不打印对偶影子价格时，不要把 22.32% 写成某种影子价格。

产品限制

三仓加总是试解点个数，不必等于矿井座数 24，也不必等于工作表行数。
默认按线性规划解读；目标或约束明显弯曲时，贴边仓不再保证全局最优。
变量须有有限上、下界，否则探点网格无法铺开，越界仓会虚高。
类别 A/B/C 不是「最优 / 次优 / 最差产品」的标签。
投入导向 CCR 的 θ 与本页的目标值量纲不同，格子不能对抄。

案例

决策问题。 选煤车间要把两种规格（甲块煤、乙混煤）排进同一周的工时与设备台时。管理者问的不是「哪座矿相对有效」，而是「甲、乙各安排多少吨，利润最大且不把库存打穿」。

教学示例下载 DEA 产能表，工作表「DEA产能」。把员工人数、工时、设备投入视作本周可调用库存，原煤产量列只用来对照，不充当效率前沿。求解器在 (甲吨, 乙吨) 平面上留下 354 个试解点：内部松弛 64，贴着某条工时或台时边界 79，至少撞破一条上限 211。最优角点应在 B 仓的顶点上，而不是在 C 仓里「再挤一挤」。

下载教学示例表（DEA 产能）

在 StatsX 中操作

步骤 1 · 装入产能表

打开工作台，把 DEA 产能 xlsx 拖进上传区，确认工作表是「DEA产能」。单文件不超过 20 MB。这一步只是借用资源数字，不是开始算效率。
步骤 2 · 把列读成库存而不是 DMU

画像里员工人数、工时、设备投入是定量且为正。矿井名称列不要拖进决策变量——规划求的是甲/乙吨数，不是给 M01 打分。
步骤 3 · 搜索规划求解

目录搜「规划」或「求解」。卡片若仍显示适合，只说明表能跑，不说明你已经写好目标系数。
步骤 4 · 声明目标与不等式

决策变量写成甲吨、乙吨（或用两列产量代理）。目标选利润最大。约束用库存列做右端。运行后把 A/B/C 对上松弛 / 贴边 / 越界。
步骤 5 · 先读三仓再读角点

先看越界是不是过半（本例是），再在贴边仓里找目标最好的顶点。不要把松弛仓里的某个内点当成已经最优。

工时、设备须为正的定量列；矿井名不是决策变量。

如何阅读输出

占用表清点 354 个试解点。松弛仓 64（18.08%）还没碰到墙，目标通常还能沿某条梯度再走；贴边仓 79（22.32%）已经贴上至少一条资源墙，线性规划的最优顶点在这一仓里；越界仓 211（59.6%）违反约束，目标值再好看也不能上产。可行率 40.40% 不是效率均值。

规划求解结果表

项目	类别	统计量	取值
规划求解	类别 A	频数	64
规划求解	类别 B	频数	79
规划求解	类别 C	频数	211
规划求解	合计	有效样本 N	354
规划求解	类别 A	占比(%)	18.08
规划求解	类别 B	占比(%)	22.32
规划求解	类别 C	占比(%)	59.6

左右滑动可查看完整表格

教学示例表在 StatsX 工作台中的计算结果口径。

规划求解松弛贴边越界占用表 — 工作台三类人数应与上表一致；标签按可行状态读，不按矿井名读。

规划求解可行域与试解点分布 — 内部点、边界点与域外点分仓着色；最优角点应落在贴边一侧。

解读顺序：约束是否写全 → 越界仓是否异常厚（网格是否铺得比可行域大）→ 贴边仓里哪一个点目标最好 → 才报告甲吨、乙吨与利润。C 仓 59.6% 不能改写成「多数矿井规模报酬递减」。若你真正要的是 24 座矿的 TE，离开本页去 DEA。

线性目标的最优解出现在顶点（基本可行解）。内点法路径会穿过 A 仓，单纯形法则在 B 仓的顶点之间跳。两种算法停在同一顶点时，目标值应一致，路径占用可以不同。非线性目标时，A 仓内部也可能藏着局部最优，这时贴边不再自动等于全局。

理论与公式

标准形线性规划与第 i 条不等式的松弛 s_i 为：

互补松弛：若某条原约束松弛为正，对应的对偶变量为 0；对偶变量为正，则该资源用尽。本页占用表是探点直方图，不是对偶解。DEA 的投入导向 CCR 也是线性规划，但决策变量是强度 λ 与径向 θ，约束是参照集包络，目标是压缩投入——和「甲吨、乙吨利润最大」不是同一道题。

试解点落入三仓的比例满足 n_A+n_B+n_C=354。可行域体积越小、网格越疏，C 仓越容易膨胀。缩小步长或改用单纯形只走顶点，占用会变，x* 在线性情形下不应跟着乱跳。

注意事项

漏写一条关键库存，可行域会假大，贴边仓里的「最优」上线会撞墙。
单位不一致（工时对人数、吨对台时）会让约束没有物理意义。
整数件、最小开工批量会把顶点推离连续松弛解，需要声明整数变量。
目标系数估错时，顶点仍「算对」，决策是错的。
不要把越界占比当成 DEA 的 1−TE。
同一张产能表两用时，方法节必须写清本页求的是配产而不是效率。

常见问题

参考文献

Dantzig, G. B. Linear Programming and Extensions[M]. Princeton University Press, 1963.
Bertsimas, D., Tsitsiklis, J. N. Introduction to Linear Optimization[M]. Athena Scientific, 1997.
运筹学教材编写组. 运筹学[M]. 清华大学出版社.
Charnes, A., Cooper, W. W., Rhodes, E. Measuring the efficiency of decision making units[J]. European Journal of Operational Research, 1978, 2(6): 429–444.