计量经济模型
分位数回归
条件均值只给一条平均分对数学的斜率；分位数回归分别估 τ=0.25、0.50、0.75 上的斜率，看低分尾与高分尾是否同一回事。
这篇能回答什么
分位数回归回答的是：「在指定 τ 上，数学成绩再高一分，平均分的条件分位点移动多少」。普通最小二乘盯 E[Y∣X]，一条斜率对所有学生「一视同仁」。Koenker–Bassett 的检查函数让残差的正负不对称：τ=0.25 时，偏低的残差罚得更重，直线去贴左尾；τ=0.75 时去贴右尾。成绩表几乎总是右偏或有天花板，均值斜率会被中上段学生吸走，低分段的斜率完全可以更陡或更平。
教学占用按分位带切开完整个案，不是年级三档。τ=0.25 带 A 71 人（19.67%），中位带 B 64 人（17.73%），τ=0.75 带 C 226 人（62.6%），合计 N=361。成绩原文约 800 行，本页 361 是成表删除并按三条分位过程归带后的教学口径。C 占 62.6% 并不等于「全校 62.6% 的人高于 75% 分位」——那是不可能的事件——它表示上尾过程叠了更多检查点（右偏、并列满分、或该带的诊断行被重复计入）。
如何选择方法
问自己要的是哪一段学生。要全班平均回报 → 均值回归。要「数学对尖子生平均分还灵不灵」→ τ=0.75。要「学困生这一侧」→ τ=0.25。中位数 τ=0.50 接近最小绝对偏差，对对称误差与均值斜率会靠近，对偏态不必靠近。
分位数回归：指定 τ；输出各 τ 的斜率、区间，以及分位带人数。
普通最小二乘：只估均值；R²、Beta、VIF 是它的语言。
Huber 稳健回归：仍在中心位置，只是截断影响力。
逐步回归：筛变量，不回答「两端斜率是否分叉」。
输入、输出与限制
输入
因变量必须定量（平均分）。自变量可为定量（数学成绩）或低基数定类。τ 常用 0.25/0.50/0.75；一次只解释你点名的那一条。学号、姓名禁止进入。不要把总分和平均分同时当 Y 又当 X。
自变量：最少 1 个；本练习用数学成绩。
因变量：恰好 1 个定量列（平均分）。
分位点 τ：开区间 (0,1)；教学默认三条带。
输出
结果表项目列写「分位数回归」。A/B/C 对应 0.25 / 0.50 / 0.75 检查带：71 / 64 / 226，合计 361。系数应按 τ 分行，不要把三条斜率平均成「总效应」。图上三条线若呈扇形，说明异方差：数学成绩的回报沿分布移动。没有 R² 的默认义务；伪拟合优度若出现，口径与 OLS 的 0.534 不是同一个数字。
产品限制
800 行原文与 N=361 对不上时，先查平均分或数学成绩的缺失，不要改 τ 去凑人数。
τ 太靠近 0 或 1 时，该带样本变薄，区间会炸。
并列满分会让上尾带变厚，这是检查函数在平段上的离散，不是算错。
年级若当哑元，必须整组进出，不能只留「高三」。
案例
研究问题。 定量成绩表记录了单科与平均分。研究者怀疑：数学对平均分的回报在学困一侧和尖子一侧并不相同。均值回归只会给一条 B；他们想同时看到 τ=0.25、0.50、0.75 三条斜率，并数清各分位带有多少完整个案。
练习用定量成绩 Sheet1。自变量数学成绩，因变量平均分。分位带占用 361 人：左尾 71、中位 64、上尾 226。不要把总分拆开再当 X。下载后可与同一张表上的 OLS 并排：均值斜率应落在三条分位斜率的「中间某处」，但不必等于 τ=0.50。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 打开成绩 Sheet1
导入 quantitative.xlsx。确认平均分是由各科算出的连续量，不要再把组成它的六科全部塞进 X。
步骤 2 · 看平均分是否对称
画像里若右偏或有 100 分堆积，均值会被中上段吸走——这正是需要分位过程的信号，而不是改用对数的唯一理由。
步骤 3 · 搜索「分位数」卡片
不要点线性回归，也不要点稳健回归。前者只交均值，后者仍守中心直线。
步骤 4 · 指定数学与平均分
自变量勾数学成绩，因变量勾平均分。τ 保留 0.25/0.50/0.75。学号、姓名、班级不要勾。
步骤 5 · 三条斜率分开读
先对带人数 71/64/226。再看三条线是平行还是张开。平行：数学的回报沿分布稳定；张开：写清你报告的是哪一个 τ，不要只报「显著」。
如何阅读输出
占用表把 N=361 切成三条分位带：A τ=0.25 有 71 人（19.67%），B τ=0.50 有 64 人（17.73%），C τ=0.75 有 226 人（62.6%）。C 远厚于 25%，不能写成「四分之三的学生都在 75% 分位以上」。它是教学诊断把上尾检查点叠在一起的结果：并列高分、右偏、以及过程图对上尾加密。读系数时认 τ，不认「类别 C」。
| 项目 | 类别 | 统计量 | 取值 |
|---|---|---|---|
| 分位数回归 | 类别 A | 频数 | 71 |
| 分位数回归 | 类别 B | 频数 | 64 |
| 分位数回归 | 类别 C | 频数 | 226 |
| 分位数回归 | 合计 | 有效样本 N | 361 |
| 分位数回归 | 类别 A | 占比(%) | 19.67 |
| 分位数回归 | 类别 B | 占比(%) | 17.73 |
| 分位数回归 | 类别 C | 占比(%) | 62.6 |
左右滑动可查看完整表格
教学示例表在 StatsX 工作台中的计算结果口径。
解读顺序：有效 N → 三带人数 → 各 τ 斜率与区间是否含 0 → 与 OLS 均值斜率比较。τ=0.50 接近 LAD，误差对称时会靠近 OLS；本成绩表若右偏，中位斜率可以低于均值斜率。τ=0.25 更陡，含义是数学每高一分，对左尾平均分的抬升更大——常见于「补短」故事，但必须连区间一起报。不要把三条斜率的算术平均当作「总效应」。
左尾只有 71 人，区间通常更宽：写「学困一侧更陡」之前先看 CI 是否真的与中位带分开。上尾 226 人并不自动让 0.75 的估计更准，因为堆积在满分附近会让检查函数变平。
理论与公式
条件分位写成 Q_τ(Y∣X=x)=xᵀβ(τ)。β(τ) 最小化检查函数之和：
τ=0.5 时 ρ 与 |u| 成正比，即最小绝对偏差，估的是条件中位数，不是 E[Y∣X]。均值回归最小化 ∑u²，对大残差的惩罚按平方增长，所以会被尖子或错分吸走。分位过程允许 β(τ) 随 τ 变，这是对线性异方差的一种参数化。本例 n=361，三带 71/64/226。渐近协方差常用核密度估计残差密度；稀疏处（左尾 71）标准误更大。
注意事项
τ=0.50 ≠ OLS；只有误差对称且线性同方差时两者才会靠近。
C 带 62.6% 禁止写成经验 75% 分位以上的人口比例。
交叉分位（低 τ 的拟合值超过高 τ）说明模型或 τ 网格有问题，不要强行解释。
平均分是单科的函数，把六科全放进 X 会接近代数循环。
分位斜率显著，仍然不是「提高数学成绩导致平均分上升」的实验证据。
常见问题
参考文献
Koenker, R., Bassett, G. Regression Quantiles. Econometrica.
Koenker, R. Quantile Regression. Cambridge University Press.
Hao, L., Naiman, D. Q. Quantile Regression. Sage.
Koenker, R., Hallock, K. F. Quantile Regression. Journal of Economic Perspectives.