时间序列分析
季节性ARIMA模型
在非季节 ARIMA 外面再乘一套周期为 s 的差分与滞后，专门吃掉年或季里重复出现的峰谷。
这篇能回答什么
季节性 ARIMA 回答的是：「这条等间隔序列除了短期记忆，还有没有每隔 s 期就回来的峰谷，以及把季节算子写进模型之后，下一季各期会落在哪」。记号是 (p,d,q)(P,D,Q)_s：小写管相邻几期，大写管隔 s、2s 的季节滞后，D 是季节差分次数。教学结果在第 36 期之后画出橙色外推，让你看见样本外路径，而不是只报一个点。
适合：月用电、季销量、带春节/暑假的客流——周期稳定、你愿意把 s 写成 12 或 4。占用表把样本内时期打进三个互斥期次分箱：年内短窗（类别 A）、肩季窗（类别 B）、整季周期窗（类别 C）。整季窗最厚，说明季节占用压过短窗，这时不要只用非季节 Auto ARIMA 硬套。
什么时候不该用
周期不稳定、或有效期数不够两个完整季节，不要估 (P,D,Q)。没有季节峰时，Auto ARIMA 的非季节网格更省参数。只要平滑预报、接受可加季节因子，Winters 法 往往更轻。尚未确认普通 d 与季节 D，先差分并做ADF。
如何选择方法
先问季节是统计上的滞后结构还是平滑因子。要同时写非季节与季节 AR/MA、并给出机制更完整的区间路径，用本页。只要水平、斜坡加可加/可乘季节、参数少，用 Winters。完全看不见固定节拍，回到非季节 Auto ARIMA。读 ACF 时，s、2s 处的高棒是季节项的线索，不是把 p 加成 12。
季节性ARIMA：1 条定量序列 + 周期 s；输出季节窗占用、拟合与样本外路径。
Auto ARIMA：非季节 (p,d,q) 网格，不含 (P,D,Q)_s。
Winters：三次指数平滑，季节是因子不是 AR/MA 多项式。
差分 / ADF：先决定 d 与 D，再填本页阶数。
输入、输出与限制
输入
预测目标须为定量，按等间隔排列。必须指定季节周期 s。非季节阶 (p,d,q) 与季节阶 (P,D,Q) 可手填或按信息准则在小网格内搜索。时间列用于排序和给外推期打标签。
预测目标：最少 1 个，最多 1 个，定量。
时间变量：最少 0 个，最多 1 个。
季节周期 s：正整数，月度常用 12、季度常用 4。
输出
占用表给出年内短窗、肩季窗、整季周期窗的频数与占比。图叠加历史水平、分界虚线与橙色外推。系数、AIC 与残差检验若出现在工作台其他表，以那些数字写进方法；本页主表是季节期次分箱，不是 (p,d,q) 的估计值。
产品限制
历史长度建议至少 2s，最好 3s 以上，否则季节 MA/AR 不稳。
合计 270 是期次分箱条数，不必等于 36 期轨迹。
类别 A/B/C 不是 p、d、q 三个整数，也不是三种 rival 模型的票数。
非季节 Auto ARIMA 页默认不含季节项，不要拿那边的 (2,1,1) 当作本页已含季节。
s 必须来自采样频率，不能按「哪一档占用最大」反推。
案例
研究问题。 一条约 36 期的水平序列在中后段抬头，规划需要看见第 36 期之后若干期的路径。若业务上存在稳定季节（教学占用里整季窗最厚），应显式写 (P,D,Q)_s，而不是把季节峰塞进非季节短滞后。
教学占用合计 270 条：年内短窗（类别 A）70（25.93%），肩季窗（类别 B）48（17.78%），整季周期窗（类别 C）152（56.3%）。整季窗过半。下载时间序列表后，可用「annual」产值练习操作路径；年度数据通常 s 估不稳，季节结论以月度/季度序列为准。占用 270 与 20 年产值不必对账。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 载入表
打开工作台，把 Excel / CSV / JSON 拖进上传区。有月或季标记的列优先；只有年份时本方法季节项会空转。单文件不超过 20 MB。
步骤 2 · 辨认周期
先数一年有几期：12 个月或 4 个季度。图上若对不齐固定峰，先别估季节 MA。日期列用于排序，不要当作预测目标。
步骤 3 · 点选「季节性ARIMA模型」
在算法目录搜「SARIMA」或「季节性」，点选季节性ARIMA模型。不要误点非季节 Auto ARIMA。
步骤 4 · 填写 s 与阶
预测目标勾一列定量指标，写上 s。d、D 与短滞后可手填，或在小网格里按信息准则搜索。点运行。
步骤 5 · 读季节窗与外推
先看整季窗是否压过短窗，再看第 36 期之后的橙色路径是否还保留节拍。残差若仍有季节峰，应改 s 或 D，而不是把 p 加到 12。
如何阅读输出
占用表把 270 条时期记录分进三档季节窗。年内短窗 70（25.93%）说明相邻记忆仍占一块；肩季 48（17.78%）最薄；整季周期窗 152（56.3%）过半——这是「季节占用压过短窗」的分箱证据，还不是已经估出 Q=1 的证明。不要把 56.3% 写成季节 MA 系数。
| 项目 | 类别 | 统计量 | 取值 |
|---|---|---|---|
| 季节性ARIMA模型 | 类别 A | 频数 | 70 |
| 季节性ARIMA模型 | 类别 B | 频数 | 48 |
| 季节性ARIMA模型 | 类别 C | 频数 | 152 |
| 季节性ARIMA模型 | 合计 | 有效样本 N | 270 |
| 季节性ARIMA模型 | 类别 A | 占比(%) | 25.93 |
| 季节性ARIMA模型 | 类别 B | 占比(%) | 17.78 |
| 季节性ARIMA模型 | 类别 C | 占比(%) | 56.3 |
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教学示例表在 StatsX 工作台中的计算结果口径。
短窗 25.93%、肩季 17.78%、整季 56.3%。整季领先时，对照 ACF 的 s 处是否仍高：高，则 D 或季节 MA 值得保留；若整季厚但图上没有固定峰，可能是 s 填错。橙色外推若走成一条光滑斜线、完全失去节拍，说明季节项没吃进去，应回头查 s 与 D。
阅读顺序：s 是否等于采样频率 → 历史够不够两个季节 → 整季窗是否过半 → 外推是否还带节拍 → 残差季节峰是否消失。本方法是外推，不是干预评估。
理论与公式
乘积季节 ARIMA 把非季节多项式与周期为 s 的多项式连乘。以滞后算子 L 表示：
φ、θ 管相邻滞后；Φ、Θ 管 L^s、L^{2s}。D=1 对应季节差分 y_t−y_{t−s}。Winters 不写这些多项式，而是维护水平、斜坡与季节因子三个状态。非季节 Auto ARIMA 令 Φ=Θ=1 且 D=0，季节峰会被误吸入 d 或短 q。
本页占用把时期切成短窗、肩季、整季三档后清点条数。它是日历分箱，不是 Φ、Θ 的估计。整季档占比高，只提高「应当启用季节算子」的先验，最终仍看残差在滞后 s 处是否截断，以及外推是否保留节拍。
注意事项
s 写错（把月度当成 4）会让整季窗失去意义，外推节拍会对错格。
两个季节的短样本里 (P,D,Q) 方差极大，宁可 Winters 或先聚合。
整季占用高 ≠ 已经估对 Q；还要看残差季节峰。
政策台阶会被季节 MA 当成「每年都来」的峰，分段比加大 Q 更合适。
不要把本页占用表的 70、48、152 抄成三个回归系数。
与 Winters 比，本页对错误的 s 更敏感，也更难对小样本解释。
常见问题
参考文献
Box, G. E. P., Jenkins, G. M., Reinsel, G. C., & Ljung, G. M. Time Series Analysis: Forecasting and Control[M]. Wiley.
Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. Forecasting: Principles and Practice[M]. OTexts.
Shumway, R. H., & Stoffer, D. S. Time Series Analysis and Its Applications[M]. Springer.
王燕. 应用时间序列分析[M]. 中国人民大学出版社.