差异性分析-等价界
单样本等价检验
用 TOST 检验一列定量均值是否落在相对目标值预先写好的等价区间里，而不是检验「是否等于目标值」。
这篇能回答什么
单样本等价检验问的是：「这一批观测的均值，有没有被证明落在 μ₀±Δ 里面？」它把「不够接近」拆成两条单侧原假设（Schuirmann TOST）：均值是否仍然偏在下界之外，以及是否仍然偏在上界之外。两条都拒绝，才允许写「与目标等价」。普通单样本 t 拒绝的是「均值恰好等于 μ₀」，p 很大只表示没抓住差异，绝不等于已经证明够近。
教学清单按三条独立批次（或三个已发表样本）切开，各自可以对同一个规格中心做一次 TOST：批次 A 82 次（35.34%）、批次 B 39 次（16.81%）、批次 C 111 次（47.84%），合计 232。B 只有三十九次观测，同样的 Δ 下区间更宽，最容易「点估计在界内、区间却探出界外」。
什么时候不该用
你还没有事先写下 Δ，只是看完数据才去找一条刚好套住均值的界，这不是等价检验。若问题仍是「和 75 分常模有没有差别」，用单样本T检验。分布很偏、更关心中位数是否贴着目标，用单样本Wilcoxon符号秩检验作位置对照，但那仍是 NHST，不是 TOST。两个独立组之间的等价见双样本等价检验。
如何选择方法
先写研究声称：要证明「有差别」，还是要证明「足够没有实质差别」。后者必须带 Δ。一个目标值、一列分数 → 单样本 TOST；两列独立组 → 双样本 TOST；同一人前后两列 → 配对 TOST。没有 Δ 的「看看 p 大不大」全部回到普通 t / Wilcoxon。
单样本等价检验：一列定量、一个 μ₀、一对本预先写好的 ±Δ。
单样本T检验：H₀ 为 μ=μ₀，用来抓差异，不声明等价。
双样本等价检验：两组均值差对 (−Δ, Δ)。
单样本Wilcoxon：对目标中位数的非参数 NHST，原假设仍是「没有位置差」。
输入、输出与限制
输入
一列定量观测（练习簿用「语文成绩」或「数学成绩」对预先规定的常模 / 规格中心），一个目标值 μ₀，以及在看数据之前写下来的下界与上界（常取对称 ±Δ）。若按「年级」拆成三条批次分别声明等价，每一次 TOST 只用该批次自己的分数，不要把三档混成一列还假装是三次独立检验。
检验变量：1 个定量列（如语文成绩）。
目标与等价界：μ₀ 与 (μ₀−Δ, μ₀+Δ)，Δ>0 且预先指定。
输出
教学表给出三条批次的有效次数与占比，提醒你每一次 TOST 的 n 不同。图把均值（或均值相对 μ₀ 的位移）画在 ±Δ 色带上，并给出对应 1−2α 的区间：整段区间都躺在色带里才能声明等价。本教学图的色带按 ±0.5 标尺画出，区间右端探出色带，属于「尚未建立等价」。
产品限制
Δ 不能空着让软件「按 SD 自动给一条」还当成验证性结论。
批次 B 仅 39 人时，同样 Δ 下功效最低，失败多半是区间太宽。
一次声明针对一个 μ₀；把语文、数学轮流换目标，要当多次检验写清楚。
图上的色带宽度以你输入的 Δ 为准；本页示例图使用 ±0.5 便于阅读刻度。
案例
研究问题。 产线或教务处规定：某项定量指标相对规格中心的偏离必须小到可忽略（教学图用 ±0.5 作为界的示意刻度）。三次独立抽检（类别 A/B/C）分别留下一批「语文成绩」式的连续读数，要判断每一批能不能声明贴着目标。
三次抽检人数为 A 82（35.34%）、B 39（16.81%）、C 111（47.84%），合计 232。C 接近半数，区间通常更窄；B 不到两成，最容易出现「均分看起来靠近目标，但 TOST 过不了」。练习请下载定量成绩表，指定「语文成绩」对一个事先写好的常模，需要按「年级」分开声明时再拆三次运行。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 先写目标与 Δ，再打开表
在纸上写下 μ₀ 与 ±Δ（例如某校语文常模与可接受偏离）。然后把定量成绩表拖进工作台，确认「Sheet1」含「语文成绩」「数学成绩」，可选「年级」作拆批。
步骤 2 · 看列画像里的定量尺度
语文、数学应为连续分。若打算按年级做三次声明，确认三档都有足够人数；对照本页，B 这种 39 人的批次要预期更宽的区间。
步骤 3 · 进入「单样本等价检验」
目录搜索「等价」或 TOST，点选单样本等价检验。不要点成普通单样本 t——那条路没有等价界。
步骤 4 · 指定分数列、μ₀ 与界
检验变量勾选「语文成绩」（或「数学成绩」）。填入预先写好的目标与上下界。按「年级」拆批时只保留当前批次的行再运行。
步骤 5 · 看区间是否被色带吃进去
先对人数：A/B/C 是否为 82 / 39 / 111。再看图：点可以在 ±Δ 内，只要横线探出界，就不能写「已证明等价」。
如何阅读输出
构成表回答「这一次 TOST 站在哪一批、多少人上」。A 82 人（35.34%）、B 39 人（16.81%）、C 111 人（47.84%），合计 232。三次声明若都要做，应看成三次检验，而不是把 232 人平均成一次超级 TOST。
| 项目 | 类别 | 统计量 | 取值 |
|---|---|---|---|
| 单样本等价检验 | 类别 A | 频数 | 82 |
| 单样本等价检验 | 类别 B | 频数 | 39 |
| 单样本等价检验 | 类别 C | 频数 | 111 |
| 单样本等价检验 | 合计 | 有效样本 N | 232 |
| 单样本等价检验 | 类别 A | 占比(%) | 35.34 |
| 单样本等价检验 | 类别 B | 占比(%) | 16.81 |
| 单样本等价检验 | 类别 C | 占比(%) | 47.84 |
左右滑动可查看完整表格
教学示例表在 StatsX 工作台中的计算结果口径。
读图顺序与 NHST 相反：不要先问「区间包不包含 0 / 包不包含 μ₀」，而问「区间有没有任何一截露在 Δ 外面」。点估计落在色带中心只说明「看起来挺近」，TOST 要的是整个不确定性都被界吃掉。本教学图正是「点在界内、线探出上界」的典型未通过形态。
批次 B 只占 16.81%，同等方差下标准误大约是 C 批（111 人）的 1.7 倍。B 没通过经常应写成「在预写的 Δ 下功效不够，不能声明等价」，而不是「证明了不等价」。证明不等价需要另设的非劣 / 优越界，或普通 t 拒绝 μ=μ₀ 且效应大到超过 Δ。
理论与公式
设观测 i.i.d.，样本均值 \bar{x}、样本标准差 s、容量 n，预先指定目标 μ₀ 与 Δ>0。TOST 的两条单侧原假设为「偏在下界左侧」与「偏在上界右侧」：
在水平 α 下，两个单侧 p 都小于 α 才声明等价。这与「μ 的 1−2α 置信区间完全落在 (μ₀−Δ, μ₀+Δ) 内」是同一件事：α=0.05 时看的是 90% 区间，不是普通 t 默认的 95% 区间。普通单样本 t 的 H₀: μ=μ₀ 即使 p=0.80，90% 区间仍可能比 2Δ 更长，TOST 照样失败。本教学批次 n 取 82、39、111，同一 s 与同一 Δ 下，39 人的 |t_L|、|t_U| 最容易不够大。
注意事项
Δ 必须来自规格、最小重要差或监管文件，不能看完 \bar{x} 再改。
「单样本 t 不显著」与「TOST 声明等价」可以同时成立，也可以一个成立另一个不成立，必须分开报告。
把三年级混成一列再对一个常模，分析总体变成「全校平均」，与按年级三次声明不是同一个问题。
α 与区间口径要配对：TOST 用 α 时图上应是 1−2α 区间。
分数若严重偏态，t 型 TOST 的区间覆盖会歪；先看描述与正态性，再决定是否变换。
常见问题
参考文献
Schuirmann, D. J. A comparison of the two one-sided tests procedure and the power approach for assessing the equivalence of average bioavailability. Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics, 1987, 15(6): 657–680.
Lakens, D. Equivalence tests: a practical primer for t tests, correlations, and meta-analyses. Social Psychological and Personality Science, 2017, 8(4): 355–362.
Wellek, S. Testing Statistical Hypotheses of Equivalence and Noninferiority. CRC Press.
Lakens, D., Scheel, A. M., Isager, P. M. Equivalence testing for psychological research. Advances in Methods and Practices in Psychological Science, 2018, 1(2): 259–269.