信号分析
频谱分析
把等间隔采样的一条定量波形变换到频率轴，用周期图或 Welch 平均看能量堆在低频、中频还是高频。
这篇能回答什么
频谱分析回答的是：「这条已经按固定间隔采下来的定量波形，把振荡能量堆在哪些频率上」。时域里上下跳的是 x(t)；频域里每一根 FFT 箱子对应一个频率，箱子的高度是幅值或功率。教学结果另给一张频带占用表：低频（类别 A）、中频（类别 B）、高频（类别 C）各收进多少个箱子。占用是箱子个数，不是某根谱峰的赫兹读数。
适合：电机振动、周期生理波、带隐藏节律的 macro 序列。教学示例用时间序列表里间隔均匀的收益或产值列当波形。想找「一年出现几次峰」，读谱图上的主峰频率；想写 ARMA 的 (p,q)，应去（偏）自相关分析看截尾，不要把低频箱子多写成 AR(1)。
如何选择方法
先问你要的是频率轴上的能量还是滞后轴上的记忆。隐藏周期、谐波、工频干扰走本页；定 AR / MA 阶、看拖尾截尾走 ACF / PACF。维纳–辛钦定理说功率谱是自相关的傅里叶变换，两张图说的是同一条二阶结构，坐标轴不同，不能互相替代写进同一句「因此存在 12 阶季节」。
频谱分析：1 条等间隔定量波；输出谱图，以及低 / 中 / 高频带占用。
（偏）自相关：同一条波在时域的 ρ(k)、π(k)，用来定阶而不是读赫兹。
信号滤波：已经知道要留哪一段频带，先切再谱。
时间序列分解：要的是趋势、季节、不规则三项，不是一根功率曲线。
输入、输出与限制
输入
分析对象是一条定量列，行序当作等间隔采样。有日期列请先按时间升序。采样率若已知，应在参数里写明，否则横轴只是相对频率（相对奈奎斯特）。
分析波形：最少 1 个，最多 1 个。
输出
占用表把 FFT 箱子打进三个互斥频带：类别 A 低频、类别 B 中频、类别 C 高频，给出频数、占比与合计。图给出幅值谱或 Welch 功率谱。读峰用图；占用只说明「哪一档里的箱子更多」。
产品限制
占用合计是频域箱子数，不必等于工作表行数。
分辨率大约是采样率 / 窗长；窗越短，峰越胖。
Welch 分段会牺牲分辨率来换方差，段数不是占用表的「类别」。
类别 A/B/C 不是基波、二次谐波、噪声三种物理标签。
Nyquist 以上的振荡会被折叠回来，无法从占用表里「看见混叠」。
案例
研究问题。 在判断一条宏观或收益轨迹有没有被某个稳定周期主导之前，先看能量是堆在低频（慢漂、趋势残留）还是中高频（短周期、噪声），再决定去谱峰还是先差分。
教学示例的频带占用合计 192 个箱子：低频（类别 A）82 个（42.71%），中频（类别 B）48 个（25.0%），高频（类别 C）62 个（32.29%）。低档最厚，提示慢变化仍占一块；中档最瘦，不能据此宣布「没有季节」。下载时间序列表后，可用「returns」的个股收益或「annual」产值练习。占用 192 与 180 行收益、20 行产值都不必相等。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 上传表格
打开工作台，将 Excel / CSV / JSON 拖入上传区。练习均匀间隔用「returns」；练习慢漂用「annual」产值。单文件不超过 20 MB。
步骤 2 · 查看画像与质量
目标列须为定量、按时间升序、间隔尽量恒定。缺一大段就先插值或切段。日期序号、事件 0/1 不是波形。
步骤 3 · 选择「频谱分析」
在算法目录搜索「频谱」「FFT」或「功率谱」，点选频谱分析。它读频率轴，不预报下一期。
步骤 4 · 指定变量并运行
分析波形只勾一列。若界面提供采样率，按真实 Δt 填写。不要一次塞进序列 A/B/C——两路对齐用互相关。
步骤 5 · 阅读结果
先看占用表低档是否偏厚，再在谱图上读主峰横坐标。峰的赫兹（或相对频率）才是周期候选；42.71% 不是周期。
如何阅读输出
占用表把 192 个频域箱子分进三档。低档 82（42.71%）最厚，说明慢分量仍占一块箱子；中档 48（25.0%）最瘦；高档 62（32.29%）居中。这是「直流附近箱子多」的计数证据，还不是「主峰 = 0 Hz」的证明。没有逐箱功率时，不要把 42.71% 写成 f̂。
| 项目 | 类别 | 统计量 | 取值 |
|---|---|---|---|
| 频谱分析 | 类别 A | 频数 | 82 |
| 频谱分析 | 类别 B | 频数 | 48 |
| 频谱分析 | 类别 C | 频数 | 62 |
| 频谱分析 | 合计 | 有效样本 N | 192 |
| 频谱分析 | 类别 A | 占比(%) | 42.71 |
| 频谱分析 | 类别 B | 占比(%) | 25.0 |
| 频谱分析 | 类别 C | 占比(%) | 32.29 |
左右滑动可查看完整表格
教学示例表在 StatsX 工作台中的计算结果口径。
低档 42.71%、中档 25.0%、高档 32.29%。低档领先时，先问水平图是不是还带坡：有坡就先差分再谱，否则「低频厚」只是趋势泄漏。中档虽瘦，季节峰可以瘦成一两根很高的箱子，占用仍可以很小。自动定阶与区间预测交给 Auto ARIMA，本页不输出预报。
解读顺序：间隔是否均匀 → 是否已去趋势 → 占用低档是否异常厚 → 谱图主峰频率 → 才写「存在周期 1/f」。谐波应在 2f、3f 处对齐，不要把高档 32.29% 解释成三次谐波份额。
理论与公式
连续时间傅里叶变换把波形拆成复指数；离散实现用 FFT。功率谱与自相关在二阶平稳下由维纳–辛钦公式相连：
周期图 I(f)=|X(f)|²/T 方差不随 T 下降，所以 Welch 把记录切段、加窗、再平均。窗长决定分辨率 Δf≈f_s/L；段数决定方差。奈奎斯特频率为 f_s/2，更高的振荡会混叠。本页占用表在变换之后按频率下标切成低、中、高三档并清点箱子。它是直方图，不是 S(f) 的估计。低档占比高，只提高「慢分量可能还在」的先验，主峰仍看图。
注意事项
未去趋势的斜线会把功率灌进最低几箱，看起来像「强周期为零」。
矩形窗泄漏会让瘦峰胖成一片，占用也会跟着被邻箱吃掉。
三档加总是 100%，不能把占比再解释成幅值或信噪比。
年数据只有 20 点时，箱子少、峰不稳，不要写精确到小数的赫兹。
两路传感器的相对延迟不在本页；那是互相关的峰值时滞。
混叠一旦发生，占用表无法「还原」被折进来的高频。
常见问题
参考文献
Percival, D. B., & Walden, A. T. Spectral Analysis for Physical Applications[M]. Cambridge University Press.
Oppenheim, A. V., & Schafer, R. W. Discrete-Time Signal Processing[M]. Pearson.
Kay, S. M. Modern Spectral Estimation[M]. Prentice Hall.
胡广书. 数字信号处理：理论、算法与实现[M]. 清华大学出版社.