受限因变量回归
Tobit 截断回归
因变量在下限（默认 0）堆成一堵墙时，用极大似然同时照顾墙内的连续密度和墙上的累积概率，还原潜变量斜率。
这篇能回答什么
Tobit 回答的是：「如果每个人都有一个可正可负的潜在结果 Y*，而我们只看见 max(Y*, 0)，X 对 Y* 的斜率是多少」。墙上的点不是「真的等于 0 的连续取值」，而是被左删失。普通 OLS 把 0 当成真实观测，会把斜率往零拉。本页用 MLE，似然里对未受限行写正态密度、对 Y≤0 的行写 Φ((0−xβ)/σ)。产品把左截断点固定在 0，不开放右截断。
适合：开支、工时、捐赠——理论上不能为负，样本里又有一截正好贴在 0。教学工作表「tobit」两列：左截断Y、X，有效样本 240，其中左删失 45、未受限 195、右删失 0。X 每增加 1，潜变量期望增加 0.8073（z = 2.5386，P = 0.011）。
什么时候不该用
0 的含义是「这个人根本没进入结果方程」（没工作就没有工资，单元格是空的而不是 0），应使用Heckman 两步法：先 Probit 谁被看见，再把逆米尔斯放进工资 OLS。人人都有完整连续 Y、没有墙，用线性回归。只关心谁越过 0、不估计墙上的潜变量斜率，用二元逻辑回归。有效行少于 20 会拒绝。
如何选择方法
先问 0 是「看见了但被地板挡住」还是「根本没有这条结果」。地板 → Tobit；缺席 → Heckman。Heckman 教学表「heckman」里工资在未参与者身上是缺失，IMR p=0.022；Tobit 教学表里左截断Y 对 45 个人是 0，对 195 个人是正数。两页都出现过 240 行，但一个在修选择，一个在修删失，系数不能对格。
Tobit：1 个定量 Y（左端可堆积）、1–30 个 X；输出潜变量系数、Sigma、伪 R²、删失计数。
OLS：把墙上的 0 当真实 Y，斜率通常偏小。
Heckman 两步法：选择方程 + 结果方程 + IMR；结果在未选中者身上缺失。
逻辑回归：只建模 Y>0 的概率，丢掉墙内连续段的信息。
输入、输出与限制
输入
因变量必须是定量，且你认为小于等于 0 的取值代表左删失而不是真实负值。自变量可为定量或定类（定类会扩成虚拟变量）。两列同时非缺失的行进入似然；本教学 240 行全部完整。
自变量：最少 1 个，最多 30 个（定量或定类）。
因变量：最少 1 个，最多 1 个（定量，存在截断堆积）。
输出
一张 MLE 表，标题带因变量名（本例「左截断Y」）。行包括常数项 (Constant)、各 X，以及 Sigma (误差项标准差)。列为估计系数、稳健标准误、z、P。表注写有效 N、左侧受限删失个数、非受限个数、伪 R² 与对数似然。散点图把潜变量线性预测对观测 Y，并用颜色区分左删失与未受限。
产品限制
左截断点写死为 0，右截断关闭；不能在界面改成「在 10 处封顶」的双侧 Tobit。
有效样本少于 20 拒绝。
高基数定类 X 导致设计矩阵近奇异时会报数值不稳定，应减少虚拟变量。
伪 R² 是 McFadden：1−ℓ(β)/ℓ(仅截距)，与 OLS 的 R² 不是同一个数字。
系数解释的是 Y*，不是 E[Y|X] 的边际效应；从潜变量斜率到「看见的 Y 平均增加多少」还要乘未删失概率。
案例
研究问题。 240 个单元的结果被生成后再裁到 0 以下：负的潜在值全部变成 0。研究者想估计 X 对潜在结果的推动力，而不是把 45 个地板点当成「真的就是零开支」。
教学示例来自因果推断表，工作表为「tobit」，有效样本 240。因变量勾「左截断Y」，自变量勾 X。下载后不要误开 heckman 表——那张表的工资有空单元格，走的是选择模型。复现时应看到左删失 45、X = 0.8073（p = 0.011）、Sigma = 0.9608（p = 0.002）。
在 StatsX 中操作
步骤 1 · 打开 tobit 表
导入因果推断 xlsx，切到工作表「tobit」。单文件不超过 20 MB。
步骤 2 · 核对地板
左截断Y 应出现一截精确的 0，其余为正。若 0 其实是「没参加」的缺失被填零，应改走 Heckman，而不是本页。
步骤 3 · 点选 Tobit 截断回归
目录搜索 Tobit 或「截断回归」。不要点成普通线性回归，也不要点成两步法。
步骤 4 · 指定 Y 与 X
因变量放左截断Y（只能 1 列），自变量放 X（本例 1 列，最多 30 列）。运行分析。
步骤 5 · 同时读三行和表注
常数项 p=0.250 不显著不影响 X。先看删失计数 45/195/0，再引用 0.8073，最后用 Sigma 与伪 R²=0.1757 作模型附录。
如何阅读输出
下表由「tobit」工作表跑出。有效 N = 240。常数项 (Constant) = 1.136，稳健标准误 0.9878，z = 1.15，P = 0.250：截距在 α=0.05 下过不了。X = 0.8073，标准误 0.318，z = 2.5386，P = 0.011：潜变量随 X 上升。Sigma (误差项标准差) = 0.9608，标准误 0.3028，z = 3.1728，P = 0.002：扰动尺度显著不为 0，这是尺度参数被识别的正常结果，不是拟合失败。
| 项 / 变量 | 估计系数(Coef) | 稳健标准误 | z值 | P值 |
|---|---|---|---|---|
| 常数项 (Constant) | 1.136 | 0.9878 | 1.15 | 0.250 |
| X | 0.8073 | 0.318 | 2.5386 | 0.011 |
| Sigma (误差项标准差) | 0.9608 | 0.3028 | 3.1728 | 0.002 |
左右滑动可查看完整表格
有效样本量: 240。左侧受限删失样本: 45个；有效非受限样本: 195个。模型伪 R²=0.1757，Log-Likelihood=-293.65。
【Tobit截断回归】样本=240，非删失=195，左删失=45，右删失=0。 【显著变量】X(coef=0.8073, p=0.011)
表注另外给出伪 R² = 0.1757、Log-Likelihood = −293.65。伪 R² 表示相对「只有截距的 Tobit」，对数似然改善了约 17.6%，不能写成「解释了 17.57% 的方差」。右删失 0 只说明没有人撞上右墙——因为产品根本没设右墙。若用 OLS 把 45 个 0 当真实 Y，斜率会小于 0.8073，那是删失偏倚，不是本表算错。
理论与公式
潜变量与观测规则（左截断在 0）写成：
对数似然把未受限行与左删失行分开。McFadden 伪 R² 用仅含截距的 Tobit 作基线：
本页在标准化空间里数值优化再还原到原始尺度，故 X 的 0.8073、Sigma 的 0.9608 已是原始单位。z 来自系数除以稳健标准误的正态近似。Heckman 的 IMR 纠正的是「谁进入样本」，似然完全不同，不能把 0.8073 去对 heckman 表里的教育 0.199。
注意事项
把缺失填成 0 再跑 Tobit，会把「没被选中」误判成「被地板挡住」，应改 Heckman。
0.8073 是 Y* 斜率；对看见的开支谈「平均多花多少」，还要结合未删失概率，本表不打印边际效应列。
Sigma 显著只说明 σ≠0，几乎总是如此，不要写成模型诊断通过。
伪 R²=0.1757 偏低也不自动意味着 X 无用：X 的 p=0.011 仍然显著。
Stata tobit 默认也可能是左端 0；若对方开了 ul() 或换了截断点，45 / 195 会对不上。
常见问题
参考文献
Tobin, J. Estimation of relationships for limited dependent variables. Econometrica, 1958, 26(1): 24–36.
Amemiya, T. Tobit models: A survey. Journal of Econometrics, 1984, 24(1–2): 3–61.
Wooldridge, J. M. Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. MIT Press.
McDonald, J. F., & Moffitt, R. A. The uses of Tobit analysis. Review of Economics and Statistics, 1980, 62(2): 318–321.